Машини Тьюрінга на одній стрічці із захищеним від запису впізнають лише звичайні мови

Ось проблема:

Доведіть, що односмугові машини Тюрінга, які не можуть записати на частину стрічки, що містить вхідний рядок, розпізнають лише звичайні мови.

Моя ідея - довести, що саме ця ТМ еквівалентна DFA.

Використовувати цю ТМ для імітації DFA дуже просто.

Однак, коли я хочу використовувати цей DFA для імітації TM, я стикаюся з проблемою. Для переходу TM DFA може точно імітувати, читаючи стрічку праворуч і виконуючи той самий перехід стану.$\delta(q,a)=(q',a,R)$

Для я не можу зрозуміти, як використовувати цей DFA або NFA для імітації лівого ходу, оскільки DFA читає лише вліво і не має стека або що-небудь для зберігання.$\delta(q,a)=(q',a,L)$

Чи варто розглянути інший спосіб? Хтось міг би дати мені підказки? Дякую.

Вступ

Я подумав, що може виникнути помилка в оригінальній постановці питання, і ОП вже не було, щоб задавати питання. Тож я припустив, що стрічка читається лише скрізь, і написав перший доказ, заснований на цьому припущенні, мотивований тим, що ТМ має повну потужність Тюрінга поза вхідною частиною стрічки, якщо вона може записати її, що викликає помилкове віра в те, що він може розпізнати будь-яку мову RE.

Однак це не так: обмеження на запис на вхідній частині стрічки передбачає, що з вводу може бути вилучена лише кінцева інформація, обмежена кількістю станів при вході та виході цієї частини стрічки (поєднується з сторона входу та виходу). InstructedA повинен бути зарахований за те, що в коментарі зазначається, що існує проблема з розпізнаванням будь-якої мови RE, оскільки неможливо зробити копію вводу без EVER запису до вихідної області введення,

Отже, я написав другий доказ, який передбачає, що тільки вхідна секція стрічки є лише для читання, решта - для читання-запису.

Я зберігаю обидва докази тут, оскільки перше допомогло мені знайти рішення, хоча не потрібно розуміти, що другий доказ є складнішим і піддається другому доказуванню. Його можна пропустити. Однак слабший доказ має перевагу в тому, що він є конструктивним (для отримання еквівалента FSA, який є машиною Тюрінга), тоді як більш загальний результат не є конструктивним.

Однак я даю спочатку останній і більш потужний результат. Я трохи здивований, що мені не вдалося знайти цей результат, навіть не маючи доказів, деінде в мережі, або запитавши деяких компетентних користувачів, і будь-яке посилання на опубліковану роботу буде вітатися.

Зміст:

• Машини Тьюрінга, які не перезаписують вхід, приймають лише звичайні мови. Цей доказ не є конструктивним.

• Машини Тьюрінга із стрічками, які доступні лише для читання, приймають лише звичайні мови. Він може бути пропущений як попередній доказ, але він використовує інший підхід, який має перевагу бути конструктивним.

Машини Тьюрінга, які не перезаписують вхід, приймають лише звичайні мови

Ми нагадуємо, що, хоча TM не перезаписує свій вхід, і, таким чином, читається лише на його вході, TM може читати та писати на решті стрічки . Доказ покладається на той факт, що поведінка спостереження ТМ над невідомим входом може спричинити лише обмежену кількість різних випадків. Таким чином, незважаючи на те, TM має повну потужність Тьюринга тільки спираючись на решті частини її стрічки, її інформація на вході, яка може бути будь-який рядок в , звичайно, тому він може обчислити тільки кінцеве число різних випадків. Це дає інший погляд на кінцевий характер регулярних мов, а не на поведінку, а не на структурний.$\Sigma^*$

Ми припускаємо, що ТМ приймає, коли переходить у стан прийняття.

Доказ.

Ми визначаємо вхідні обмежені обчислення (IRC) як (тільки для читання) обчислення TM, так що головка TM залишається на вхідній частині стрічки, за винятком, можливо, останнього переходу, який може перемістити її до комірки негайно ліворуч або праворуч від області введення.

Лівий вхід обмежений обчислення є IRC - який починається на крайньому лівому символі введення. Правий вхід обмежений обчислення є IRC - який починається на крайній правий символ введення.

Спочатку ми доводимо, що для обчислень з лівим введенням, які починаються у стані , наступні мови є регулярними:$p$

• мова вхідних рядків таким чином, що обчислення лівого входу обмежено, починаючи з стану p , що закінчується на першій комірці зліва від самого лівого символу введення в стані q ;$K_{Lp\to Lq}$$p$$q$

• мова вхідних рядків таким чином, що обчислення лівого входу обмежено, починаючи з стану p , що закінчується на першій правій комірці правого правого вхідного символу в стані q ;$K_{Lp\to Rq}$$p$$q$

• мова рядків введення таким чином, що обчислення лівого входу обмежено, починаючи з стану p , що досягає стану прийняття.$A_{Lp}$$p$

І так само для обчислень з обмеженням правого введення, що починаються в стані , регулярно застосовуються наступні аналогічно визначені мови: K R p → L q , K R p → R q і A R p .$p$$K_{Rp\to Lq}$$K_{Rp\to Rq}$$A_{Rp}$

Шість доказів спираються на той факт, що двосторонні недетерміновані автомати з кінцевим станом (2NFA) розпізнають регулярні множини (див. Hopcroft + Ullman 1979, pp. 36-41, та вправи 2.18, сторінка 51). 2NFA працює як ТМ лише для читання на стрічці, обмеженій її входом, починаючи спочатку від самого лівого символу та приймаючи, переміщуючись за правий кінець у прийнятому стані.

$K_{??\to ??}$

$p$$q$

$k$$4k^2$$K_{??\to ??}$$2k$$A_{??}$$4k^2+2k$

$4k^2+2k$$\Sigma^*$$4k^2+2k$

$\mathcal P$$\Sigma^*$$2^{4k^2+2k}$

$u$$v$$\mathcal P$$u$$v$$\mathcal P$

Щоб бути дуже повною, ми пропустили корпус порожнього рядка введення. У цьому випадку ми просто маємо звичайний ТМ, який може читати чи писати будь-де. Якщо він досягає прийнятого стану, порожній рядок є мовою, інакше - ні. Але це мало впливає на той факт, що розпізнавана мова є регулярною.

Звичайно, не вирішується, чи є клас еквівалентності в мові чи ні (те саме стосується порожнього рядка). Це неконструктивний доказ.

QED

Машини Тьюрінга із стрічками, які доступні лише для читання, приймають лише звичайні мови

Це підлягає попередньому результату. Він зберігається, оскільки використовує інший підхід, напевно, менш елегантний, і допоміг мені знайти попередній доказ, зрозумівши, що має значення. Але читачі цілком можуть пропустити. Однак однією з переваг цього доказу є те, що це конструктивний доказ, що забезпечує FSA, що приймає мову. Ескіз подібного доказу дає Хендрік Ян у відповіді на попереднє подібне запитання , яке передбачає, що вся стрічка була лише для читання.

$\Box$

Перший крок доказу - показати, що голові не потрібно ніколи залишати область введення стрічки. Таким чином ми аналізуємо, що відбувається, коли головка відсувається від правого вхідного символу. Аналіз при відсуванні від крайнього лівого краю ідентичний.

$q$

1. ТМ постійно веде обчислення, без того, щоб голова ніколи поверталася на вхідній частині стрічки;

2. ТМ досягає (а) прийняття або (b) зупиняється в неприйнятному стані;

3. $r$

$q$

$\Box$$1$$0$

$0$

Ми представляємо відповідну частину керування кінцевим станом направленим графіком, де вершинами є стани ТМ, а де краї - порожні переходи, з вагою +1 ​​або -1 залежно від того, чи повинна рухатися головка праворуч чи ліворуч.

$A_R$$q$

$E_R$$(q,r)$$-1$$q$$r$

$\Box$

$q_A$

$p,a\mapsto R,q$$p,a\mapsto R,q_A$$q\in A_R$

$p,a\mapsto R,q$$(q,r)\in E_R$$p,a\mapsto S,r$$S$

$a$$F_a=\{(p,r)\mid \text{ there is a dummy transition } p,a\mapsto S,r\}$$F_a^*$$F_a$$r,a\mapsto L,s$$(p,r)\in F_a^*$$p,a\mapsto L,s$

$+1$$-1$

$q_A$

Нам зараз доведеться зробити кілька косметичних змін, щоб змусити цю ТМ поводитись так само, як двосторонній NDA (прийняття відбувається лише шляхом виходу з правого вводу в стан, що виконує функції). Тоді ми можемо розраховувати на еквівалентність знань між 2-NDA та FSA (див., Наприклад, Hopcroft + Ullman 1979, стор. 40), щоб отримати доказ того, що мова є регулярною.

QED

Переміщення вліво або вправо не є проблемою, оскільки двосторонні кінцеві автомати розпізнають точність звичайних мов (це не очевидно). Однак якщо ваш TM може писати поза частиною стрічки введеного слова, я думаю, ви можете використовувати цю частину стрічки для розпізнавання у звичайних мовах. Можливо, я чітко не розумію питання.