Як швидко ми можемо вирішити, чи мінімальний показник DFA?

Мінімізація детермінованих кінцевих автоматів (DFA) є проблемою, детально вивченою в літературі, і було запропоновано кілька алгоритмів для вирішення наступної проблеми: Дано DFA , обчислити відповідний мінімальний DFA, приймаючи ту саму мову, що і . Більшість із цих алгоритмів працює в поліноміальний час.$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

Однак мені цікаво, чи варіант рішення цієї проблеми - "заданий DFA , мінімальний?" - можна вирішити ефективніше, ніж фактично обчислити мінімальний автомат. Очевидно, це також можна зробити ефективно, запустивши, наприклад , алгоритм уточнення розділів Hopcroft, а потім вирішивши, чи містять усі розділи саме один стан.$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

Як пропонує у своїй відповіді Юваль Філіус , варіант рішення може бути вирішений швидше, можливо, використовуючи стандартні алгоритми. На жаль, я не бачу, як це (сподіваюсь, я тут не пропускаю очевидного моменту).

У коментарях Юваль зазначає, що найвідоміші алгоритми (як той, що описаний вище) працюють у часі для алфавітів постійного розміру. Тому мене цікавлять не тільки асимптотично значні вигоди в процесі виконання, оскільки це здається досить малоймовірним. Що мене найбільше турбує, це те, що я не уявляю жодного "ярлика", який може бути зроблений з того, що нас цікавить лише відповідь "так-ні-відповідь" - навіть не ярлик, який дозволяє заощадити асимптотично незначну кількість часу. Я відчуваю, що кожен розумний алгоритм, який визначає мінімальність DFA, повинен насправді мінімізувати DFA і побачити, чи зміниться щось під час процесу.$\mathcal{O}(n \log n)$

Це може бути не такий тип відповіді, який ви шукаєте, але, оскільки ви запитували про проблеми з рішенням, я подумав, що вас може зацікавити складність проблеми. Це -повне.$\mathsf{NL}$

Тепер, що означає для DFA мінімальний? Є два властивості:

1. Кожен стан є доступним: таким, що ми можемо досягти q із стартового стану s , слідуючи w ; у символах: s → w q .$\forall q \in Q \; \exists w \in \Sigma^*$$q$$s$$w$$s \rightarrow_w q$

2. Кожна пара станів відрізняється: з q ≠ r $\forall q,r \in Q$$q \neq r$ такими, що q → w s і r → w t і | { s , t } ∩ F | = 1 (лише один із s , t - стан прийняття).$\exists w \in \Sigma^*$$q \rightarrow_w s$$r \rightarrow_w t$$|\{s,t\} \cap F| = 1$$s,t$

Зауважте, що можна обчислити в просторі журналу (тобто L ; просто відстежуйте своє поточне положення, дотримуючись w одну букву за один раз). Крім того, існує лише кінцеве число чергувань між ∀ і ∃ так як наслідок теореми Іммерман-Szelepcsenyi , ми маємо , що проблема полягає в N L .$x \rightarrow_w y$$\mathsf{L}$$w$$\forall$$\exists$$\mathsf{NL}$

Найпростіший спосіб побачити, що важко - помітити, що властивість 1 вирішує s - t спрямовану недосяжність, що є прототиповою важкою проблемою. Але навіть якщо ви розглядаєте лише доступні ДФА, проблема все ще є важкою (тобто властивість 2 є N L- твердою), і ви можете знайти відносно прямий доказ у леммі 2.2 Cho & Huynh (1992) .$\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{NL}$

Звичайно, я використовував недетермінізм, тож це трохи кашлю в тому, чим він відрізняється від алгоритму Хопкрофта. Але ми знаємо, що , тому ви можете використовувати ці конструкції, щоб отримати собі більш ефективний простір алгоритм, ніж Хопкрофт (який за своєю суттю має відслідковувати n багатьох розділів).$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2$$n$