Чи повне з'єднання островів з понтонами NP?

У мене є проблема в думці, я думаю, що це проблема NPC, але я не знаю, як це довести.

Ось проблема:

У дуже великому озері є k островів, і є п вентиляторних понтонів. Ці понтони мають однаковий розмір, але мають різні початкові напрямки і знаходяться в різних оригінальних положеннях в озері. Понтони можуть вільно обертатися навколо його центру мас, і це не пов’язано з витратами, пов'язаними з обертанням.

Тепер нам потрібно перемістити ті понтони, щоб усі острови в озері могли бути з'єднані. Ми можемо гарантувати, що кількість понтонів достатня для з'єднання всіх островів.

[Примітка]: Ми не можемо повторно використовувати понтони !!

Завдання полягає в тому, щоб знайти рішення, що має мінімальну загальну відстань рухомих понтонів, щоб зробити з'єднання всіх островів. Відстань переміщення одного понтона може бути обчислена як відстань між центром вихідного положення маси та його розгорнутим положенням.

Щоб було зрозуміло, я намалював таку фігуру. Припустимо, у нас є 3 острови A, B і C. Вони розташовані десь в озері. А у мене кілька віялоподібних пантонів. Тепер рішення - знайти підсумок мінімальної відстані, що рухається, щоб з'єднати A, B і C, показане в нижній частині рисунка. Сподіваюся, це допоможе зрозуміти проблему. :)

Здається, що проблема є NPC, але я не знаю, щоб це довести. Хтось може мені в цьому допомогти?

По-перше: це не проблема продавця подорожі. TSP вимагає ідентифікації гамільтонівського циклу мінімальної ваги; цей цикл взагалі не вимагає циклу або навіть мінімальної траси ваги. Він вимагає мінімальної вартості спорудження з'єднувального набору ребер, де вартість будівництва базується на переміщенні понтонів.

По-друге: Це не проблема мінімальної ваги на дереві. Дивіться вище - нам потрібна конструкція з мінімальними витратами, а не визначення мінімальної ваги.

По-третє: Схоже, що побудована доріжка буде деревом, що перебуває в розрізі, але не обов’язково з мінімальним вагою. Альтернативою є те, що це було б розкинуте дерево плюс деякі додаткові краї, що призведе до циклу; але якщо ми починаємо з конфігурації без країв, то кожен край має певну позитивну вартість, і ми завжди можемо знайти дерево, що має меншу вагу, просто не будуючи зайві краї.

Четверте: Ви кажете, що понтони вільно обертаються; Я припускаю, що це означає, що ніякі витрати не пов'язані з обертанням понтонів. Однак ви не вказуєте, про що обертаються понтони: Їх точки? Їх центри мас? Будь-який внутрішній пункт? (Якщо будь-яка зовнішня точка, то у нас були б нульові конструкції, так?)

Це трохи тонко, тому що якщо ми обертаємось на 90 градусів навколо внутрішньої точки, скажімо, центру маси, яка вартість? Нічого, бо це обертання? Якась кінцева сума, оскільки точка перемістилася? Тепер нам також потрібно знати розміри понтонів.

По-п’яте: один передбачає, що і понтони, і острови вбудовані в евклідову площину?

Переглянувши нові діаграми, я бачу, що вам може знадобитися кілька понтонів для перетину між островами. Враховуючи це, ви могли б дуже наблизитись до вирішення проблеми дерева Штейнера , перетворивши вузли на острови та створивши досить різноманітну колекцію понтонів з маленькими дугами. У Вікіпедії сказано, що насправді існує проблема PTAS для дерева дерева Штайнера, тому я не можу відразу сказати, що це робить його NP-завершеним. Однак дивлячись на деталі дерева Steiner може або отримати хороше приблизне рішення, або показати, що проблема є NP-Complete.

Після креслення Це все ще проблема NPC. Навіть якщо ми скоротимо проблему до кожного понтона, можна прийняти 1 з n позицій (тобто відомих ліній з'єднання. Щоб отримати найбільш оптимальну відповідь, нам доведеться спробувати кожен понтон у кожній позиції, додавши їх відстань, щоб дістатися до цих репсивних позицій кожного час, і порівнюючи з усіма іншими. Якщо кожен понтон повинен бути протестований у кожній позиції, то є n! комбінації, які потребують тестування.

Я вирішив редагувати зображення оригінальних плакатів із деякими доповненнями, щоб показати ідеї графіків, що стоять за цією проблемою.

На зображенні нижче показані всі (мінус 2 для спрощення) понтони різних кольорів, а всі потенційні місця понтона в червоному кольорі. Я лише намалював лінії між 3 понтонами та всіма кінцевими місцями, але можна було побачити, як CRAZY це може отримати.

Скажімо, що тільки для чортви цього вибираємо, щоб бірюзовий понтон був розміщений у кінцевому місці, найближчому до нього, як перший крок (хоча З ТСП ми знаємо, що це може бути не оптимальним у підсумку).

Нижче ми бачимо саме це, понтон і відстань (він же зважена відстань подорожі), яким він повинен буде проїхати.

Звідси може бути зроблений віртуальний вузол з двома кінцевими місцями поруч із щойно розміщеним розташуванням. Відстань від встановленого вузла та двох сусідніх вузлів у віртуальному вузлі мають віртуальну відстань ходу 0.

Нижче ми бачимо віртуальний вузол, створений із ВСІМ потенційними вагами відстані, які можна розмістити там.

Бачачи, як це триватиме далі, і як найоптимальнішим рішенням (як це бачилося багато разів з TSP) не завжди буде, вибираючи найкоротшу відстань для кожного вибору, нам доведеться протестувати по суті всі шляхи для всіх вузлів / віртуальних вузлів.

Зрештою, першим вузлом проблеми (TSP) може бути будь-яка з потенційних кінцевих точок понтона, а лінії, проведені від цього, - це відстані від цієї кінцевої точки до всіх інших понтонів. всі інші вузли згодом стають віртуальними вузлами, як я зобразив, коли їхні лінії відходять як відстані / ваги до всіх залишилися понтонів тощо, тощо. Як ця графська проблема НЕ ТОЧНО проблема продавця подорожей без ОСТАНОГО стрибку з вимоги гамільтонівського циклу не в мене. Щоб мати точну відповідь, потрібно перевірити всі шляхи через графік.