Межі виконання алгоритмів NP завершують задачі припускаючи P ≠ NP

Припустимо, . $P\neq NP$

Що ми можемо сказати про межі виконання всіх проблем, повних NP?

тобто які є найкруткіші функції для яких ми можемо гарантувати, що оптимальний алгоритм для будь -якої задачі, повного NP, працює в часі принаймні і максимум на вході довжиною ? $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

Очевидно, $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ . Також $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$ .

Не припускаючи $QP\neq NP$ , $ETH$ чи будь-яке інше припущення, яке не мається на увазі $P\neq NP$ , чи можемо ми дати кращі межі на $L,U$ ?

Редагувати:

Зауважте, що принаймні одна з $L,U$ має бути далеко від меж, які я тут надавала, оскільки це проблеми з NPC, ці проблеми мають між собою скорочення часу між собою, тобто якщо якась проблема NPC має оптимальний алгоритм часу $f(n)$ , то всі проблеми мають алгоритм (оптимальний чи ні) час виконання $O(f(n^{O(1)}))$ .

— РБ
джерело

якщо P NP, ми можемо сказати, що межі виконання більше, ніж будь-який многочлен .... afaik ні, кращі межі невідомі .... багато позначень не chg, що ... існують суперполіноміальні, але- субекспоненціальні функції, наприклад

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn

По-перше, просто лінійний, тому я думаю, ви маєте на увазі який відомий як клас . Я цілком усвідомлюю, що не означає, що будь-яка функція, завершена NP, буде працювати в експоненціальний час, але це не те, про що я прошу. Наприклад, якщо припустити, що , чи можливо, що проблема NPC може бути вирішена в , де - обернена функція Ackermann? Позначення - це лише інструмент, який використовується для формального висловлення мого запитання ..

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— RB

thx для виправлення. в цій області дуже мало відомо афаїків. спробуйте це питання NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB Хоча це правда, що в кожному "можливому світі" є нижня і верхня межі, які приблизно знаходяться в поліномі один одного, не ясно, які апріорні межі можливі.

— Yuval Filmus

Моя інтерпретація питання полягає в тому, що запитує про можливості в релятивізованих світах . Припустимо, що в якомусь релятивізованому світі . Чи можемо ми вивести щось нетривіальне про часову складність проблем, повних NP? Аргумент Бейкер-Гілл-Соловий показує, що ми можемо «змусити» якусь проблему НП вимагати експоненціального часу, тому верхня межа, задана у питанні, є по суті оптимальною. $P \neq NP$

Щодо нижньої межі, ми накреслимо нижче доказ того, що відносно якогось оракула . Якщо припустити, що накреслений доказ правильний, ми можемо також застосувати його до функцій, менших ніж , і це показує, що нижня межа, задана у питанні, також по суті є щільною. $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

Доказ ескіз. Ми побудуємо два оракули : перший поводиться як -повна проблема, а другий реалізує діагоналізацію Бейкера – Гілла – Солової. Складати обидва оракули в один оракул просто. $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

Oracle складається з усіх пар таким чином, що є машиною оракула Тьюрінга, яка приймає за час роботи при отриманні доступу до оракули обмежується входами довжиною не більше . (Це не кругле визначення.) $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ $2^{\sqrt{\log |x|}}$

Оракул визначається так само, як визначено оракул у Бейкері-Гіллі-Соловій: для кожної годинникової машини Oracle Turing машина працює , ми знаходимо деякий вхід довжина яка є "недоторканою", запустіть на для кроків, і для кожного запиту до розміру , ми відзначаємо, що цей ввід відсутній в (для інших запитів також відзначаємо, що введення немає , якщо ми вже не вирішили, що це в ). Запити до обробляються аналогічно (як неявні запити до $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ менших розмірів, обробляються рекурсивно); зауважте, що такі запити ніколи не згадують рядки довжиною в , оскільки . Якщо машина приймає, ми відзначаємо всі інші рядки довжиною в як відсутні, інакше ми вибираємо деяку строку довжиною і ставимо її в . $n$ $O_2$ $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

Клас складається з усіх програм, запущених у часі , які роблять запити до розміром . Клас має вигляд , де , і так це міститься в класі всіх програм, що працюють в часі і роблять запити oracle розміром . Останнє міститься у , оскільки для вирішення цього питання ми можемо використовувати . Це показує, що $P^{O_1,O_2}$ $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ .

Для іншого напрямку, нехай - мова, що складається з для кожного таким чином, щоб містив деякий рядок довжиною . За побудовою , , тоді як чітко . Це показує, що . $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— Юваль Фільм
джерело

Я маю на увазі, що я не повністю зрозумів вашу відповідь, але якщо, як ви згадали, якась NP-повна проблема вирішується лише в , то всі інші проблеми NPC також вирішується лише в , оскільки для них скорочення полі часу зменшується від , а це означає, що в іншому випадку у вас буде кращий алгоритм для . Це означає, наприклад, та чи не так? Що я пропускаю?

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— РБ

Добре, це не означає , але, схоже, це може означати .

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

— RB

Ти нічого не пропускаєш. Існує релятивізований світ, в якому ETH є правдою. Є ще один релятивізований світ, де P = NP, і, зокрема, ETH є хибним.

— Yuval Filmus

Але не у всіх релевізованих світах, у яких , є істинним, правда? Є ймовірність, що . З того, що я зрозумів з вашої відповіді, якщо існує проблема NPC, нижня межа якої є експоненціальною, і мені цікаво, чому це правда.

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— РБ

У своїй відповіді я (нібито) даю релятивізований світ, в якому . Ще один релятивізований світ має . У інших релятивізованих світах . Щодо , я нічого не вимагаю з цього приводу.

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$

— Yuval Filmus

Межі виконання алгоритмів NP завершують задачі припускаючи P ≠ NP

Не припускаючи QP≠NPQP≠NPQP\neq NP , ETHETHETH чи будь-яке інше припущення, яке не мається на увазі P≠NPP≠NPP\neq NP , чи можемо ми дати кращі межі на L,UL,UL,U ?

Не припускаючи $QP\neq NP$ , $ETH$ чи будь-яке інше припущення, яке не мається на увазі $P\neq NP$ , чи можемо ми дати кращі межі на $L,U$ ?