Пошук цікавих анаграм

Скажіть, що і b 1 b 2 … b n - це два рядки однакової довжини. Anagramming з двох рядків є взаємно однозначне відображення р : [ 1 ... п ] → [ 1 ... п ] таке , що я = Ь р ( я ) для кожного I .$a_1a_2\ldots a_n$$b_1b_2\ldots b_n$$p:[1\ldots n]\to[1\ldots n]$$a_i = b_{p(i)}$$i$

Для однієї пари рядків може бути більше однієї анаграмування. Наприклад, якщо `abcab` і b = маємо p 1 [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ] → [ 4 , 5 , 1 , 2 , 3 ] і p 2 [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ] → [ 2 , 5 , $a=$$b=$cabab$p_1[1,2,3,4,5]\to[4,5,1,2,3]$ , серед інших.$p_2[1,2,3,4,5] \to [2,5,1,4,3]$

Ми скажемо, що вага анаграмування p - це кількість скорочень, які необхідно зробити в першій рядку, щоб отримати шматки, які можна переставити для отримання другої струни. Формально це число значень i ∈ [ 1 … n - 1 ], для яких p ( i ) + 1 ≠ p ( i + 1 ) . Тобто, це кількість точок , в яких р зовсім НЕ збільшує рівно 1.For наприклад, ш ( $w(p)$$p$$i\in[1\ldots n-1]$$p(i)+1\ne p(i+1)$$p$ і w ( p 2 ) = 4 , тому що p 1 ріжеодин раз, на шматкиі, а p 2 ріжечотири рази, на п’ять частин.$w(p_1) = 1$$w(p_2) = 4$$p_1$1234512345$p_2$12345

Припустимо, існує анаграмування для двох рядків і b . Тоді хоча б одна анаграма повинна мати найменшу вагу. Скажімо, це ця найлегша . (Можливо, є кілька найлегших анаграмм; мені все одно, бо мене цікавлять лише ваги.)$a$$b$

Питання

Я хочу алгоритм, який з урахуванням двох рядків, для яких існує анаграмінг, ефективно дає точну вагу найлегшої анаграмування двох рядків. Добре, якщо алгоритм також дає найлегшу анаграмування, але це не потрібно.

Генерувати всі анаграмінг і зважувати їх досить просто, але їх може бути багато, тому я вважаю за краще метод, який безпосередньо знаходить легкі анаграми.

Мотивація

Причина, яка ця проблема цікавить, полягає в наступному. Дуже легко змусити комп’ютер шукати словник і знаходити анаграми, пари слів, які містять абсолютно однакові букви. Але багато вироблених анаграм є нецікавими. Наприклад, найдовші приклади, які можна знайти у Другому міжнародному словнику Вебстера:

холецистодуоденостомія
дуоденохолецистостомія

Проблема повинна бути ясно: це нецікаво , тому що вони допускають дуже легкий anagramming , що просто обмінює cholecysto, duedenoі stomyсекції, мати більшу вагу 2. З іншого боку, це набагато коротше приклад набагато більш дивним і цікавим:

берегова лінія
перетин

Тут найлегша анаграма має вагу 8.

У мене є програма, яка використовує цей метод для пошуку цікавих анаграм, а саме тих, для яких усі анаграмінг мають велику вагу. Але це робиться шляхом генерування та зважування всіх можливих анаграм, які повільно.

Ця проблема відома як "мінімальна загальна проблема розділів рядків." кожна літера зустрічається щонайбільше двічі у кожному з вхідних рядків, як це доводить Гольдштейн, Кілман та Чжен [GKZ05]. Це означає, що алгоритм поліноміального часу не існує, якщо P = NP. (Звичайно, якщо кожна буква трапляється не більше одного разу, то проблема є тривіальною, оскільки існує лише одна анаграма.)

З позитивного боку, ті ж самі автори [GKZ05] дають алгоритм апроксимації багаточленного часу 1.1037 під тим же обмеженням. ("Алгоритм наближення 1.1037 " означає алгоритм, який може не вивести правильну відповідь А, але гарантовано виводить значення B таке, що A ≤ B ≤ 1.1037 А. ) Вони також дають алгоритм 4-наближення лінійного часу під слабше обмеження того, що кожна буква буває не більше трьох разів у кожному з вхідних рядків.

[GKZ05] Аврахам Гольдштейн, Петро Колман та Джі Чжен. Мінімальна загальна проблема розділів рядків: Твердість та наближення. Електронний журнал комбінаторики , 12, стаття R50, 2005. http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v12i1r50

Це подання на відповідь Цуйосі Іто вище , узагальнюючи найбільш релевантну частину статті GKZ05, яку він цитував.

$G$$(i, j)$$a_i = b_j$$a_{i+1} = b_{j+1}$$(i, j)$$(k, \ell)$$i≤k$$i\mapsto j$$i+1\mapsto j+1$$k\mapsto\ell$$k+1\mapsto\ell+1$

1. $i=k$$j\ne\ell$
2. $i+1=k$$j+1\ne\ell$
3. $i+1<k$$\{j, j+1\}$$\{\ell, \ell+1\}$

$G$$s$$n-s-1$$n$$a$$b$$G$

yttrioustouristyouriououriri$s=2$y|t|t|ri|ou|st|ou|ri|s|t|y

З іншого боку, врахуйте deraterі treader. Цього разу графік має три вершини:

1. DErater + treaDEr
2. dERater + treadER
3. deratER + treadER

$s=2$der|a|t|e|rt|r|e|a|der

Він не стосується точного алгоритму, який ви мали на увазі (що відповідає відповідь Цуйосі Іто ), але намагається розібратися в основній проблемі пошуку "цікавих" анаграм ...

Моя перша думка полягала в тому, щоб скористатися деякими варіантами на відстані редагування, де атомні зміни зважуються відповідно до їх "цікавості", а не до звичайних "складностей" чи "сплутаності". Звичайно, малоймовірно, що ви зможете ефективно кодувати дійсно цікаві трансформації таким чином, оскільки вони, ймовірно, будуть не локальними і, отже, стикаються з проблемами, що заповнюють НП, ініційованими МІС тощо.

Отже, другою думкою було б побудувати вирівнювання літер до букви між словами (à la align of machine translation), а потім оцінити самі вирівнювання за "цікавістю" (наприклад, підрахунок вирівнювання, що приймає суміжні літери до не- суміжні літери, або скільки вирівнювань перетинає кожне вирівнювання тощо; а потім поєднуйте їх усі за допомогою логістичної моделі чи подібної).

Третя ідея - повністю відмовитися від погляду на структуру самої анаграмізації, а замість цього поглянути на семантику слів. Часто те, що робить анаграму «цікавою», - це невідповідність значень слів, які беруть участь. Тому спробуйте щось на зразок обчислення їх відстані в WordNet або подібному.

Проблему можна сформулювати з точки зору перестановних груп .

Тепер група перестановок містить усі "ходи анаграми", як примітивні (міняючи двома літерами), так і складові послідовності примітивних рухів. Здається, що вас цікавить лише підмножина можливих перестановок. Я спробую їх визначити.

Спочатку згадаймо позначення перестановок, а саме так звані позначення циклу :

• $()$
• $(1)$
• $(12)$
• $(123)$
• і так один

Ці прості "цикли" складені для опису більш складних перестановок.

$n$

• $(12)$
• $(a\ b)(a+1\ b+1)$$a>0$$b<a+1$$b+1\le n$
• ...
• $(a\ b)(a+1\ b+1)\cdots(a+i-1\ b+i-1)$$a>0$$a+i-1\le b$$b+i-1\le n$

Ці кроки є основою для вашого алгоритму. Що вас цікавить, це знайти найменшу послідовність цих рухів, щоб перейти від одного слова до іншого.

Я не знаю жодного алгоритму для обчислення цього, окрім пошуку грубої сили, але принаймні зараз є чіткіший (сподіваюся) опис того, що таке примітивні ходи. (І, можливо, якийсь теоретик групи серед нас може вказати на відповідний алгоритм.)

Що стосується холецистодуоденоностомії / дуоденохолецистостоми, я помічаю, що якби ви присвоїли кожному символу число, яке описує, скільки воно було переміщено як дельта, ви мали б щось таке, як 7 7, то 8 -7, а потім 6 0. Це неправильно, оскільки деякі символи, можливо, були повторені (другий c рухався лише вперед 2, а не назад 7) тощо, але все ще дуже "пробігає довжину", тому що ви бачите однакові дельти підряд.

Порівняйте з береговою лінією / секцією, де ви бачите щось на кшталт (+2) (+ 5) (+ 5) (- 3) (- 1) (+ 3) .... набагато менше "довжина прогону, що кодується".

Можливо, випадковість дельт може дати вам «бал» щодо того, наскільки цікава анаграма?