Вибір підмножини для максимізації мінімальної відстані між точками

У мене є набір точок $C$ , і я маю відстань між кожною точкою $D(P_i,P_j)$ . Ці відстані є евклідовими, але точки фактично знаходяться в просторі функцій.

З пунктів $C$ я хочу вибрати підмножину з $n$ точок. Виклик цього підмножини $s$ . Я хочу вибрати цей підмножина, щоб максимально збільшити мінімальну відстань між усіма точками в новому наборі $s$ .

max_{\begin{matrix} s \subset C \\ | s | = n \end{matrix}} (min_{\begin{matrix} i, j \in s \\ i \neq j \end{matrix}} D (P_{i}, P_{j}))

$\max_{\substack{s \subset C \\ |s| = n}} \left( \min_{\substack{i,j \in s \\ i \neq j} } D \left( P_i, P_j \right) \right)$

Зараз я використовую альпінізм для вирішення цієї проблеми. Я розумію, що змодельований відпал може дати краще рішення.

Чи є відоме рішення цього типу проблеми? Або цю проблему можна переформулювати в іншу проблему, яку легко вирішити?

optimization

— user1389800
джерело

Мене цікавить подібна проблема. Не грунтується на моєму досі в пошуках результатів, це можна порівняти з проблемою р-дисперсійної в завданню розміщення об'єкта , для якого Це є хорошим спеціальним оглядом.

— XTZ

Чи знаєте ви, як називається ця проблема?

— Кульбаба

Версія проблеми з оптимізацією є такою:

Задавши поріг , ви хочете знати, чи можна знайти підмножину з точок таким чином, щоб кожна пара точок у підмножині була принаймні одиницями. $t$ $n$ $t$

Звичайно, якщо ви зможете вирішити проблему рішення, ми можемо вирішити вашу оптимізаційну задачу (шляхом двійкового пошуку на порозі ). $t$

Тепер ця проблема рішення - проблема пошуку незалежного набору в евклідовому графіку, де точки мають між собою ребро, якщо вони знаходяться на відстані одна від одної. Одним із підходів було б переглянути алгоритми стандартного наближення для незалежного набору. $x,y$ $\le t$

Ще краще, ви можете подивитися алгоритми незалежного набору в графіках геометричного перетину . Розглянемо набір дисків, де кожен диск має діаметр і з центром в одній з точок в наборі . Тепер ми можемо сформувати графік геометричного перетину, де є одна вершина для кожного диска і край між двома вершинами, якщо їх відповідні диски перетинаються. Проблема пошуку незалежного набору в такому вигляді графіка була вивчена. Існують алгоритми наближення цієї проблеми, які ви можете спробувати використати. $t$ $C$

Якщо ви хочете отримати точний оптимізм, а не наближення, ви можете використовувати будь-який із стандартних "великих молотків", наприклад SAT-розв'язувач або ILP-розв'язувач. Існує простий спосіб сформулювати задачу незалежного набору як екземпляр SAT, і тоді ви можете застосувати до неї розв'язувач SAT, щоб дізнатися, чи існує підмножина з точок, які всі одиниці не віддалені один від одного. $n$ $\ge t$

— DW
джерело