Обчислення лямбда: різниця між контекстами та контекстами оцінки

По-перше, я хотів би сказати, що мій текст нижче може містити помилки, тому сміливо вказуйте на будь-які помилки в моїй постановці питання.

Розглянемо нетипічне обчислення лямбда з булевими та if-висловлюваннями, терміни яких задані цим синтаксисом:

 t ::= v | t t | if t t t | x
 v ::= \x.t | #t | #f

Контексти C у цьому випадку будуть задані відповідно до цього синтаксису:

C ::= [-] | \x. C | C t | t C | if C t t | if t C t | if t t C

Крім того, можна визначити контексти оцінювання E відповідно до цього іншого синтаксису:

E ::= [-] | \x. E | v E | E t | if E t t

Я розділив своє питання на три підпункти, які я хотів би вирішити.

Коли використовуються два поняття? Я знаю, наприклад, що контексти оцінювання використовуються для визначення семантики числення, але використання контекстів все ще дещо ухиляється від мене. Також я хотів би підтвердити свої знання тут.
Коли одне віддати перевагу іншому і чому?
Не могли б ви вказати на відповідні статті, які могли б допомогти мені розібратися в цьому питанні?

programming-languages lambda-calculus

Відповіді:

Контекст використовується для багатьох цілей, але, як правило, для визначення конгруентностей у програмах. Контексти оцінювання - це підмножина контекстів. Вони зазвичай використовуються для визначення відношень відновлення. Дозвольте навести приклад кожного.

Один формальний спосіб визначення рівності програми полягає в тому, щоб сказати, що дві програми і є контекстуально рівними, вони можуть замінювати одна одну в кожному контексті без зміни поведінки. Ми можемо визначити це наступним чином : і є контекстуально , рівними при умови , для всіх закривають контекстів для і : тоді і тільки тоді , коли . Ми говоримо, що контекст закривається для $M$ $N$ $M$ $N$ $C[\cdot]$ $M$ $N$ $C[M] \Downarrow t$ $C[N] \Downarrow t$ $M, N$ якщо ні ні мають вільних змінних. Вираз означає, що програма скорочується в кінцевій кількості кроків до значення . (Зауважте, зауважте, що визначення контекстуальної еквівалентності більше стосується багатих понять обчислення, наприклад, одночасних процесів.) $C[M]$ $C[N]$ $M \Downarrow t$ $M$ $t$

Навпаки, контексти оцінювання - це контексти, які не блокують оцінку. Точніше, контекст оцінювання - це термін з діркою в точці, де повинен відбутися наступний етап атомного скорочення (або може відбуватися для недетермінованих обчислень). Тому для контекстів оцінювання слід застосовувати таке правило: Як приклад використання контекстів оцінювання, розглянемо правила зменшення для дзвінка за значеннямобчислення, де ми не зменшуємо при. Отже, навіть коли, у нас немає скорочення. Це можна легко виразити за допомогою загального загального контекстуального правила разом із граматикою для оцінювальних контекстів, яка опускаєвирази. Контексти оцінювання вперше були використані у

\frac{M \to N}{E [M] \to E [N]}

$\frac{M \rightarrow N}{E[M] \rightarrow E[N]}$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

M \to N

$M \rightarrow N$

λ x . M \to λ x . N

$\lambda x.M \rightarrow \lambda x.N$

λ

$\lambda$ Переглянута доповідь про синтаксичні теорії послідовного контролю та стану, зроблені Феллейзеном та Хібом.

— Мартін Бергер
джерело

Контекст - це синтаксичне поняття. Контекст - це термін, в якому є одна дірка. (Іноді є контексти з декількома отворами; в цьому випадку це визначення буде чітко дано.) Синтаксис контекстів визначається, беручи синтаксис термінів і дозволяючи одній підтермі бути дірою замість терміна. У BNF (я використовую лямбда-числення в якості прикладу, без булеві і якщо заяви , які не приносять нічого наприклад.): $[]$

C ::= [] ∣ x ∣ t C ∣ C t ∣ λ x . C

$C ::= [] \mid x \mid t \, C \mid C \, t \mid \lambda x.C$

$C[]$ $t$ $C[t]$ $t$ $[]$ $C[t]$ $[]$ $t$

(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}

$(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}$

M {x \leftarrow N}

$M \{x\leftarrow N\}$

x \mapsto N

$x \mapsto N$

M

$M$

$t$ $M$ $N$ $x$ $t = (\lambda x. M) \, N$ $t$ $t'$ $t' = (\lambda x. M) \, N$ $t$ $C$ $M$ $N$ $x$ $t = C[(\lambda x. M) \, N]$ $C[M \{x\leftarrow N\}]$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{β} N}{C [M] \to_{β} C [N]} (γ)

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{C[M] \to_\beta C[N]} (\gamma)$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{β} N}{λ x . M \to_{β} λ x . N} (C_{λ}) \frac{M \to_{β} N}{M P \to_{β} N P} (C_{@ <}) \frac{M \to_{β} N}{P M \to_{β} P N} (C_{@ >})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \\ \dfrac{M \to_\beta N}{\lambda x. M \to_\beta \lambda x. N} (C_\lambda) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{M \, P \to_\beta N \, P} (C_{@\lt}) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{P \, M \to_\beta P \, N} (C_{@\gt})$

D ::= [] ∣ x ∣ t D ∣ D t

$D ::= [] \mid x \mid t \, D \mid D \, t$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{n p} M {x \leftarrow N}} \frac{M \to_{n p} N}{D [M] \to_{n p} D [N]}

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_{np} M \{x\leftarrow N\}} \qquad \dfrac{M \to_{np} N}{D[M] \to_{np} D[N]}$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{n p} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{n p} N}{M P \to_{n p} N P} (C_{@ <}) \frac{M \to_{n p} N}{P M \to_{n p} P N} (C_{@ >})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_{np} M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \\ \dfrac{M \to_{np} N}{M \, P \to_{np} N \, P} (C_{@\lt}) \qquad \dfrac{M \to_{np} N}{P \, M \to_{np} P \, N} (C_{@\gt})$

D

$D$

$V$

V ::= x V_{1} \dots V_{n} ∣ λ x . M

$V ::= x V_1 \ldots V_n \mid \lambda x. M$

E ::= [] ∣ M E ∣ E V

$E ::= [] \mid M \, E \mid E \, V$

D

$D$

\frac{}{(λ x . M) V \to_{c b v a} M {x \leftarrow V}} (β_{c b v a}) \frac{M \to_{β} N}{E [M] \to_{c b v a} E [N]} (γ_{c b v a})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, V \to_{cbva} M \{x\leftarrow V\}} (\beta_{cbva}) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{E[M] \to_{cbva} E[N]} (\gamma_{cbva})$

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело

Ваше останнє визначення контекстів оцінювання ближче до початкового поняття Феллейзена та Хіба. Вони є синтаксичним засобом, який допомагає виразити порядок оцінювання термінів числення. Контекст оцінювання - це особливий вид контексту, оскільки він дозволяє однозначно поділити термін на контекст і передексувати (коли це можливо), тим самим детерміновано вказавши, де має відбутися наступний крок зменшення.

— Дейв Кларк

@DaveClarke В бік ви можете також використовувати контексти оцінювання, щоб визначити оцінку для недетермінованих понять обчислення, де у вас немає унікальної декомпозиції на контекст оцінки та перенастроювання.

— Мартін Бергер

@MartinBerger: Індедія.

— Дейв Кларк

@DaveClarke Ви маєте на увазі " контекст детермінованої оцінки - це особливий вид контексту"? Я можу взяти довільний набір контекстів і на основі нього визначити стратегію оцінювання.

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

@Gilles: контексти оцінки можуть визначати детерміновану стратегію скорочення. Я не думаю, що я не бачив фразу "детермінований контекст оцінки". Звичайно, це особливий вид контексту. Я згоден з вашим коментарем; Справа в тому, що у вашій відповіді не вистачає історичної значущості контекстів оцінювання, яке мало визначити детерміноване поняття скорочення.

— Дейв Кларк