Складність алгоритму триангуляції тривожної сили Делоне

У книзі Марк де Берг та ін. "Обчислювальна геометрія: алгоритми та програми" є дуже простий алгоритм грубої сили для обчислення триангуляцій Делоне. В алгоритмі використовується поняття незаконних країв - ребра, які можуть не відображатись у дійсній триангуляції Делоне і повинні бути замінені деякими іншими ребрами. На кожному кроці алгоритм просто знаходить ці незаконні ребра та виконує необхідні переміщення (звані переверненням ребер ), поки не буде незаконних країв.

Алгоритм ЮридичнаТригуляція ( $T$ )

Вхідні дані . Деякі тріангуляції $T$ точкового безлічі $P$ .
Вихідні дані . Законний тріангуляція $P$ .

в той час як $T$ містить незаконне ребро $p_ip_j$
do
$\quad$Нехай $p_i p_j p_k$ і $p_i p_j p_l$ - два трикутники, що примикають до $p_ip_j$ .
$\quad$Видаліть $p_ip_j$ з $T$ , а замість цього додайте $p_kp_l$ .
повернутися $T$ .

Я чув, що цей алгоритм працює в $O(n^2)$ час у гіршому випадку; однак мені незрозуміло, чи правильне це твердження чи ні. Якщо так, то як можна довести цю верхню межу?

Тріангуляція Делоне може розглядатися як нижній опуклий корпус 2d точкового набору, піднятий до параболоїда. Таким чином, якщо ви берете набір 2d точок і призначаєте кожну точку$(x_i,y_i)$ координата г я = х 2 я + у 2 1 , то проекція нижньої опуклої оболонки в х у -плоскость дає вам триангуляція Делоне.$z$$z_i=x_i^2+y_1^2$$xy$

Використовуючи цю перспективу, що означає, що край є незаконним? Перш за все, для кожної тріангуляції T ми можемо використовувати параболічні карту , щоб отримати 3d поверхні (тріангулірованную) , що проекти , аж до Т . Звичайно, ця поверхня не обов'язково є опуклою, якби вона була опуклою, T була б триангуляцією Делоне. Простіше кажучи, край ( p i , p j ) - це перешкода для опуклості поверхні, увігнутого краю. Перевертаючи цей край, ми змінюємо ситуацію на піднятій поверхні лише локально. Отже, давайте подивимось на 4 пункти$(p_i,p_j)$$T$$T$$T$$(p_i,p_j)$ . У 3d вони утворюють тетраедр, який виступає вниз на чотирикутник. Оскільки два трикутники p i p j p k і p i p j p l визначають увігнутий край ( p i , p j ) , трикутники p k p l p i і p k p l p j визначають опуклий край$p_i,p_j,p_k,p_l$$p_ip_jp_k$$p_ip_jp_l$$(p_i,p_j)$$p_kp_lp_i$$p_kp_lp_j$ . Тому перевертання незаконного краю відповідає заміні увігнутого краю опуклим краєм у підйомі. Зверніть увагу, що цей відкид може перетворити інші опуклі краї увігнуті.$(p_l,p_k)$

Зауваження: зображення не є геометрично правильним і його слід розглядати лише як ескіз.

Нехай - триангуляція після відкидання. Підняв поверхню Т ' «містить» поверхню Т . Під цим я маю на увазі, що якщо ви дивитесь на дві поверхні з площини x y, ви бачите лише трикутники з поверхні T ' (або трикутники, які знаходяться на обох поверхнях). Можна також сказати, що поверхня T ' укладає більший об'єм. Крім того, ребро ( p i , p j ) лежить тепер "позаду" піднятої поверхні, індукованої T ' при спостереженні з площини x y .$T'$$T'$$T$$xy$$T'$$T'$$(p_i,p_j)$$T'$$xy$

Під час фліп-послідовності ми отримуємо послідовність поверхонь із суворо зростаючим об'ємом. Таким чином, край лежить «позаду» всіх цих поверхонь. Отже, він ніколи не може з’явитися знову під час гортання. Оскільки є лише n вибрати 2 можливих ребра, у нас є максимум O ( n 2 ) фліп.$(p_i,p_j)$$n$$O(n^2)$