Складність пошуку псевдоінверсної матриці

Скільки арифметичних операцій потрібно, щоб знайти псевдоінверсію матриці Мура – ​​Пенроуза довільного поля?

Якщо матриця обернена і складна, то це просто обернена. Пошук зворотного займає час $O(n^\omega)$ , де $\omega$ - константа множення матриці. Це теорема 28.2 у вступі до алгоритмів 3-го видання.

Якщо матриця має лінійно незалежні рядки або стовпці і складною величиною, то псевдоінверсна матриця може бути обчислена відповідно A ∗ ( A A ∗ ) - 1 або ( A A ∗ ) - 1 A ∗ , де A ∗ - кон'югат транспозиції з A . Зокрема, це має на увазі O ( п & omega ; ) час перебування псевдообернених A .$A$$A^*(A A^*)^{-1}$$(A A^*)^{-1}A^*$$A^*$$A$$O(n^\omega)$$A$

Для загальної матриці алгоритми, які я бачив, використовують QR-розкладання або SVD, який, здається, приймає арифметичні операції в гіршому випадку. Чи є алгоритми, які використовують менше операцій?$O(n^3)$

Перш за все, люди, як правило, забувають, що - це мінімум. Щоразу, коли ми пишемо O ( n ω ) , ми маємо на увазі для всіх γ > ω , існує алгоритм, що працює в часі O γ ( n γ ) .$\omega$$O(n^\omega)$$\gamma > \omega$$O_\gamma(n^\gamma)$

Келлер-Гегріг показав (серед іншого), як представити матрицю в нормальній формі за часом O ( n ω ) . Якщо A має ранг r , то нормальна форма рангу A дорівнює S ( I r 0 0 0 ) T для деяких оборотних S , T відповідних розмірів; див. також Алгебраїчну теорію складності, пропозиція 16.13 на сторінці 435.$A$$O(n^\omega)$$A$$r$$A$

Нормальна форма рангу схожа на розклад рангів, згаданий у статті Вікіпедії, де X має r стовпці, а Y - r рядки. У самому справі, можна взяти X , щоб бути першою г стовпці S , і Y , щоб бути першим г рядами Т . Враховуючи це розкладання, Вікіпедія дає формулу для псевдоінверси, використовуючи лише суміжні ерміти, множення матриць і зворотну матрицю. Тому псевдоінверс можна обчислити за час O ( n ω ) .$A = XY$$X$$r$$Y$$r$$X$$r$$S$$Y$$r$$T$$O(n^\omega)$