Найкоротша відстань між точкою в A і точкою в B

Дано два набори $A$ і $B$ кожен з яких містить $n$ розрізнені точки в площині, обчисліть найменшу відстань між точкою в $A$ і крапка в $B$, тобто $\min \space \{\mbox{ } \text{dist}(p, q) \mbox{ } | \mbox{ } p \in A \land q \in B \space \}$.

Я не впевнений, чи маю рацію, але ця проблема дуже схожа на проблеми, які можна вирішити лінійним програмуванням в обчислювальній геометрії. Однак зниження до LP не є простим. Також моя проблема виглядає пов'язаною з пошуком найтоншого зазору між двома наборами точок, які, очевидно, можуть бути вирішені LP в у двовимірному просторі.$O(n)$

У мене є рішення, яке може здатися трохи заплутаним, але повинно бути більш ефективним, ніж пошук наївного грубої сили:$\mathcal O(n^2)$

1. нехай буде вісь між центрами мас і .$v$$A$$B$
2. Сортуйте точки і уздовж цієї осі у порядку зменшення та зростання відповідно, у результаті виходять послідовності , , ..., та , , ..., .$A$$B$$a_0$$a_1$$a_n$$b_0$$b_1$$b_n$

Решта - у псевдо-коді, щоб зробити це зрозумілішим:

d = infinity.
for j from 1 to n
    if (b_1 - a_j) along v > d then break endif
    for k from 1 to n
        if (b_k - a_j) along v > d then
            break
        else
            d = min( d , ||b_k - a_j|| )
        endif
    enddo
enddo

Тобто, попередньо сортувавши точки вздовж , ви можете відфільтрувати пари, які ніколи не будуть знаходитись у одна від одної, оскільки вздовж завжди буде.$v$$d$$b_k-a_j$$v$$\le \|b_k-a_j\|$

У гіршому випадку це все-таки , але якщо і добре розділені, це повинно бути набагато швидше, ніж це, але не краще, ніж , що потрібно для сортування.$\mathcal O(n^2)$$A$$B$$\mathcal O(n\log n)$

Оновлення

Це рішення ні в якому разі не витягується з шапки. Це особливий випадок того, що я використовую в моделюванні частинок, щоб знайти всі взаємодіючі пари частинок з просторовим бінінгу. Моя власна робота, що пояснює більш загальну проблему, тут .

Що стосується пропозиції використовувати модифікований алгоритм розгортки ліній, хоча інтуїтивно зрозумілий простий, я не переконаний, що це в коли розглядаються суміжні набори. Те саме стосується і рандомізованого алгоритму Рабіна.$\mathcal O(n\log n)$

Здається, не так багато літератури, яка займається найближчою парою проблеми в нерозбірливих множинах, але я знайшов це , що не вимагає, щоб бути під , і це , що не здається робити будь-які претензії щодо чого-небудь.$\mathcal O(n^2)$

Вищенаведений алгоритм можна розглядати як варіант зміщення площини, запропонований у першій статті (Шань, Чжан та Зальцберг), але замість використання -осі та не сортування, використовується вісь між множинами, а множини проходять у порядку зменшення / зростання.$x$

Ви можете адаптувати алгоритм підмітання рядків "найближчої пари" , який є .$O(n \log n)$

Єдина зміна, яку вам доведеться зробити - це ігнорувати пари, що належать до одного набору.

Правка: насправді це не просто (або навіть можливо), як я описав. Дивіться коментарі для обговорення.

Ідея подібних проблем полягає у створенні впорядкованої структури з одного з наборів, що дозволяє виконувати ефективні запити найближчого сусіда. Класична папір, яка представляла структуру запитів O (log n) для довільного виміру:

Шамос і Хой на рішеннях Вороного

З тих пір створено ряд інших космічних розділів, заснованих на ідеях тесселяцій Делані, які також перекладаються на різні описи підпростору. Зауважимо, що метод Вороного також підпадає під загальний опис розділення та перемоги завдяки його плоскому поділу, який робить етап побудови O (n log n).

Отже, основне рішення цієї проблеми:

1. Візьміть набір A і побудуйте ефективну структуру запитів найближчих сусідів на ваш вибір. Цей крок побудови - O (n log n) [див. Теорему 4].
2. Для кожного елемента в B запитуйте структуру запиту A для найближчого сусіда. Кожен запит - O (log n) [див. Теорему 15, фіксований розмір], тому загальний час запиту для всіх точок у B дорівнює O (n log n).
3. Коли буде отриманий результат для найближчої точки A до кожного B, покладіть його в структуру, упорядковану на відстані. Це O (log n) вставити кожен результат, або O (n log n) для всіх.
4. Коли всі B були розглянуті, ви можете швидко (O (1)) отримати точку B в упорядкованій структурі з найменшою відстані сусіда до точки в А.

Як видно, дивлячись на складність кожного кроку, загальна складність становить O (n log n). Для сучасного читача, який не дивиться на класичні статті, це висвітлено у багатьох книгах алгоритмів, наприклад, "Керівництво по проектуванню алгоритму" Скіени.

Я не впевнений, чи маю рацію, але ця проблема дуже схожа на проблеми, які можна вирішити лінійним програмуванням в обчислювальній геометрії. Однак зниження до LP не є простим. Також моя проблема виглядає пов'язаною з пошуком найтоншого зазору між двома наборами точок, які, очевидно, можуть бути вирішені LP в двовимірному просторі.

Нижньою межею для цієї задачі є в алгебраїчній моделі рішень. Я наведу тут грубі замальовки його доказів.$O(n*\log{n})$

Ми зведемо примірник розрізнення елемента Е до С.

• Вхід до E: $S = \{a_1, a_2, a_3,...,a_n\}$
• Нехай > 0 є невеликим дробом$\epsilon$
• A = ,$\{(a_i,0) : 1 \leq i \leq n\}$$B = \{(a_i + \epsilon) : 1 \leq i \leq n\}$
• Тепер, якщо ми зможемо знайти найменшу відстань (d) між множинами A і B. Ми можемо вирішити задачу розрізнення елементів у додатковий час наступним чином $O(n)$
  • Набір має дублікат, якщо і лише тоді, коли d =$S$$\epsilon$

Ми знаємо, що нижня межа часу виконання для вирішення проблеми розрізнення елементів - це . Отже, шляхом зменшення нижня межа стосується і нашої проблеми.$O(n*\log{n})$