Алгоритм узгодження чисел із мінімальною кількістю ходів

Це свого роду питання про відстань до редагування, і це дуже просто. Я просто мертвий з цього приводу і не можу цього розібратися.

---

Дано ряд чисел, напр

[3, 1, 1, 1]

Як би найефективніше перетворити всі числа в одне і те ж число з мінімальною кількістю "ходів"? Під "переміщенням" мається на увазі додавання або видалення одного з числа.

У наведеному вище прикладі найбільш ефективними рухами будуть:

[1, 1, 1, 1]

Для цього знадобиться 2 ходи, зменшивши перше число вдвічі.

Я не можу знайти найкращий спосіб це дізнатися, враховуючи набагато більші масиви з сотень чисел.

Спочатку я спробував обчислити округлене середнє число (сума всіх розділених на довжину), а потім зменшив їх до обчисленої середньої, але наведений вище приклад порушив це, вимагаючи 4 ходів замість 2.

Я думаю, я міг зрозуміти:

1. Середня,
2. Режим,
3. Середня

і отримати відстань редагування кожного з них, вибравши мінімальну відстань. Однак я не впевнений, що це було б правильно у кожному окремому випадку. Як я можу знати?

Відповідь - взяти медіану. Однією з властивостей медіани є те, що вона мінімізує відстань L1 до кожного елемента. (Щоб мати сенс у статті у Вікіпедії, візьміть розподіл ймовірності як рівномірний розподіл за початковим рядом чисел).

Це алгоритм, який вирішує проблему (спочатку написав dc2 ):

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

Як згадує TCSGrad, даючи список цілих чисел , ви шукаєте ціле число мінімізація Доцільно обчислити : Оскільки іде від до , кількість переходить від до . Більше того, він перемикає значення лише в точках$x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$$-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$. Не важко перевірити, що оптимальне значення - мінімальна точка, у якій . Ця мінімальна точка є однією з , тому відстань редагування становить .$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

Припустимо також, що всі виразні, а - непарне. Нехай - медіана . Тоді тоді як , і тому є єдиним оптимумом. Якщо дорівнює, то подібний розрахунок показує, що ми можемо вибрати будь-яку точку інтервалу, що з'єднує медіани. Подібні, але більш детальні міркування показують, що будь-яка медіана є оптимальною, навіть коли не відрізняються. Тому насправді немає необхідності обчислювати на всіх .$x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

Проблема може бути сформульована як проблема LP:

Давши набір з чисел , розв’яжіть наступний LP:$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

(Видалено обмеження на , які не були потрібні, як вказував Рафаель)$x$

Після вирішення LP ви отримаєте значення відповідає рішенню. Якщо - ціле число, ви закінчили - ще, округлете його до найближчого цілого числа.$x$$x$

EDIT : Як зазначено в коментарях, цільова функція повинна бути суміщена над абсолютними різницями. Щоб перетворити його на стандартний LP, ми можемо переписати LP як:

$$\min \sum a'_i$$

на тему:

a ′ i ≤ a i - x ∀ i a ′ i , x ′ ≥ 0 ∀

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

При оптимальному рішенні , і ми можемо отримати значення з рішення.$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$