Аналіз модифікованої версії карткової гри «Війна»

У просту гру, яку зазвичай грають діти, у гру Війна грають двоє людей, використовуючи стандартну колоду з 52 гральних карт. Спочатку колоду перетасовують і всі картки роздають двом двом гравцям, так що кожна має 26 випадкових карт у випадковому порядку. Будемо вважати, що гравцям дозволяється оглядати (але не змінювати) обидві колоди, щоб кожен гравець знав карти та порядки карт в обох колодах. Зазвичай це зауваження робиться на практиці, але нічого не змінить про те, як грається, і допомагає зберегти цю версію питання повністю детермінованою.

Потім гравці розкривають найбільшу карту зі своїх колод. Гравець, який виявить більшу карту (за звичайним порядком: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Джек, Королева, Кінг, Туз) виграє раунд, розмістивши першу свою карту ( висока карта) внизу його колоди, а потім карта опонента (низька карта) внизу колоди (як правило, порядок цього не виконується, але щоб перша версія цього питання була детермінованою, наприклад, замовлення буде виконано).

У разі вирівнювання, кожен гравець розкриває чотири додаткові картки вгорі своїх колод. Якщо четверта карта, показана одним гравцем, вища, ніж четверта карта, показана іншим гравцем, гравець з вищою четвертою картою виграє всі карти, зіграні під час тай-брейка, і в цьому випадку картки переможця спочатку розміщуються внизу колода переможця (в першому порядку, в першому порядку; іншими словами, старші картки розміщуються спочатку внизу), а потім картки програшів (у тому ж порядку).

У разі подальших зв’язків процес повторюється до тих пір, поки не буде визначено переможець прив'язки. Якщо у одного гравця не вистачає карт, і він не може продовжувати розривати нічию, то переможець оголошується гравцем, який ще має карти Якщо обоє гравців одночасно грають у карти, гра буде оголошена нічиєю.

Раунди розігруються до тих пір, поки у одного гравця не закінчиться карт (тобто у його колоді більше карт), і тоді гравець, який має картки, буде оголошений переможцем.

Як описано в грі, дотепер ні майстерність, ні удача не беруть участь у визначенні результату. Оскільки існує 52 кінцевих перестановки з обмеженою кількістю перестановок, існує обмежена кількість способів спочатку роздавати колоди, і випливає, що (оскільки єдиною інформацією про стан в грі є поточний стан колод обох гравців). ) результат кожної конфігурації гри можна визначити апріорно. Звичайно, можливо, виграти гру Війни і тим же самим програти її. Ми також залишаємо відкритими можливість того, що гра у війну може призвести до Краватки або нескінченного циклу; для повністю детермінованої версії, описаної вище, таке може бути, а може і не бути.

Кілька варіантів гри, які намагаються зробити її цікавішою (і ні, не всі стосуються перетворення її в питущу гру). Один із способів, який я подумав зробити гру цікавішою, - це дозволити гравцям оголошувати автоматичні "козирі" в певні раунди. На кожному раунді будь-який гравець (або обидва гравці) можуть оголосити "козир". Якщо один гравець оголошує "козир", той гравець виграє раунд незалежно від карт, які граються. Якщо обидва гравці оголошують "козир", то раунд трактується як нічия, і гра продовжується відповідно.

Можна уявити різноманітні правила, що обмежують здатність гравців козиряти (необмежена козирна робота завжди призведе до гри з галстуком, оскільки гравці козирять на кожному кроці). Я пропоную дві версії (якраз у верхній частині голови; мабуть, можливі більш цікаві версії в цих напрямках) війни, заснованої на цій ідеї, але з використанням різних механізмів обмеження козиря:

1. Frequency-War: Гравці можуть козиряти лише у тому випадку, якщо вони не балакали в попередніх раундах.$k$
2. Помста-війна: Гравці можуть козиряти лише у тому випадку, якщо вони не виграли раунд у попередніх раундах.$k$

Тепер щодо питань, які стосуються кожної з описаних вище версій:

1. Чи існує така стратегія, що для певного набору можливих початкових конфігурацій гри гравець, який її використовує, завжди виграє (сильно виграє стратегія)? Якщо так, то яка ця стратегія? Якщо ні, то чому б і ні?
2. Чи існує така стратегія, що для певного набору можливих початкових конфігурацій гри гравець, який використовує її, завжди може виграти чи змусити вирівняти (виграшну стратегію)? Якщо так, то яка ця стратегія? Якщо ні, то чому б і ні?
3. Чи є їх початкові конфігурації гри такими, що немає виграшної стратегії (тобто, гравець, який використовує будь-яку фіксовану стратегію завжди може бути переможений гравцем, використовуючи фіксовану стратегію )? Якщо так, то що вони, і поясніть?S $S$$S'$

Щоб було зрозуміло, я маю на увазі "стратегію" як фіксований алгоритм, який визначає, в які круги гравець, який використовує стратегію, повинен козирувати. Наприклад, алгоритм "козир, коли можна" - це стратегія, а алгоритм (евристичний алгоритм). Ще один спосіб запитань:

Чи є якісь хороші (або, очевидно, оптимальні) евристики для гри в ці ігри?

Посилання на аналізи таких ігор високо оцінені (я не знаю жодного аналізу цієї версії війни чи по суті еквівалентних ігор). Результати для будь-якого є цікавими та оціненими (зауважте, що в обох випадках призводить до необмеженої козирки, про яку я вже говорив).k = $k$$k=0$

Якщо я правильно розумію, вся інформація про гру доступна обом гравцям. Тобто, початкова конфігурація та всі можливі рухи відомі обом гравцям (головним чином тому, що обидва гравці можуть дивитися на карти іншого гравця). Завдяки цьому гра є ідеальною грою з нульовою сумою. Таким чином, існує ідеальна стратегія, доступна обом гравцям, яка б домоглася найкращого результату в кожній грі для цього гравця. Це було доведено в 1912 році німецьким математиком Ернстом Цермело.

Я не знаю, що таке стратегія, але можна було б уявити, як створити для неї велике дерево ігор та отримати комп’ютер, щоб знайти стратегію для мене за допомогою алгоритму min-max .

Дерево для кожної гри матиме корені руки двох гравців. Гілки на дереві відповідають рухам гравців. У найпростішому випадку вони складаються з простого складання необхідних карток. У більш розвинених випадках можливий крок "козиря". Внутрішні вузли дерева записують, яка поточна конфігурація карт, а також будь-яку інформацію про стан «козирів». Листя дерева відповідають кінцевим позиціям гри, на яких буде позначено, скажімо, +1 за перемогу гравцеві 1, 0 за нічию та -1 за перемогу гравцеві 2. Ігноруйте циклічні ігри.

Тепер алгоритм min-max буде працювати наступним чином (з точки зору гравця 1). Припустимо, що він дивиться на вузол, куди Гравець 1 робить крок, і що вузли нижче позначаються +1, 0 або -1 ( виплата) разом з вибором, який повинен зробити гравець, щоб отримати заданий результат. Гравець 1 просто вибирає вузол з найбільшою виплатою, записом, які виплачуються, і вибір, необхідний для його отримання. Для вузла, куди Player 2 рухається, вибирається вузол з мінімальною окупністю, і вибір записується. Це відображає, що Гравець 2 прагне досягти найнижчого показника. Це поширюється на дерево. Вибір, записаний на кожному вузлі, відповідає найкращій стратегії, яку може зробити гравець. Остаточна виплата визначає, хто виграє. Це в кінцевому рахунку функція з точки зору окупності, хоча точний вибір кроків може відрізнятися.

Потенційно циклічні конфігурації можна включити в ігрове дерево, просто додаючи петлі, які повертаються до вже баченої конфігурації (при обчисленні зверху). Для таких вузлів ви приймаєте найбільшу фіксовану точку, якщо це вузол, де грає Гравець 1, і найменший фіксований момент, коли грає Гравець 2.

Зауважте, якби ви не зробили припущення, що обидва гравці можуть перевірити обидва колоди, такий підхід не застосовуватиметься. Тоді гра передбачає шанс, і обрана стратегія буде специфічною для гри.

Від того, чи існує сильна чи слабка стратегія виграшу для одного з гравців, залежить результат алгоритму міні-макс, застосованого до всіх дерев. Але їх, безумовно, дуже багато .... Обчислити дерево для одного, мабуть, досить просто, оскільки вибір не дуже багато, зроблений в грі.