(Коли) є пошук хеш-таблиці O (1)?

Часто кажуть, що пошук хеш-таблиць працює в постійний час: ви обчислюєте значення хеша, яке дає вам індекс для пошуку масиву. І все ж це ігнорує зіткнення; в гіршому випадку кожен елемент висаджується в одне відро і час пошуку стає лінійним ( ).$\Theta(n)$

Чи є умови в даних, які можуть зробити пошук хеш-таблиці справді ? Це лише в середньому, чи може хеш-таблиця мати найгірший варіант пошуку (1) ?$O(1)$$O(1)$

Примітка: я тут виходжу з точки зору програміста; коли я зберігаю дані в хеш-таблиці, майже завжди це рядки або деякі складові структури даних, і дані змінюються протягом життя хеш-таблиці. Тому, хоча я ціную відповіді про ідеальні хеши, вони милі, але анекдотичні та не практичні з моєї точки зору.

PS Спостереження: для яких типів є операції з хеш-таблицею O (1)?

Є два параметри, за допомогою яких можна отримати найгірший час.$O(1)$

1. Якщо ваша установка статична, то хешування FKS отримає найгірші гарантії . Але, як ви вказали, ваше налаштування не є статичним.$O(1)$

2. Якщо ви використовуєте хешування зозулі, то запити та видалення - це найгірший варіант , але очікується лише вставка . Хешування зозулі працює досить добре, якщо у вас є верхня межа загальної кількості вставок, а розмір столу буде приблизно на 25% більшим.$O(1)$$O(1)$

Більше інформації тут .

Ця відповідь підсумовує частини TAoCP Vol 3, Ch 6.4.

Припустимо, у нас є набір значень , яких ми хочемо зберігати в масиві розміром . Ми використовуємо хеш-функцію ; як правило,. Ми називаємо коефіцієнт навантаження по . Тут будемо вважати природне ; У практичних сценаріях ми маємо , і нам доводиться відображати до себе.$V$$n$$A$$m$$h : V \to [0..M)$$M \ll |V|$$\alpha = \frac{n}{m}$m = M m ≪ M $A$$m=M$$m \ll M$$m$

Перше спостереження полягає в тому, що навіть якщо має однакові характеристики¹ висока ймовірність двох значень, що мають однакове хеш-значення; це, по суті, зразок сумнозвісного парадоксу дня народження . Тому нам зазвичай доведеться мати справу з конфліктами і можемо відмовитись від сподівання на найгірший час доступу.O ( 1 $h$$\mathcal{O}(1)$

А як із середнім випадком? Припустимо, що кожен ключ з відбувається з однаковою ймовірністю. Середня кількість перевірених записів (успішний пошук), відповідно (невдалий пошук) залежить від використовуваного методу вирішення конфлікту.C S n C U $[0..M)$$C_n^S$$C_n^U$

Прикування

Кожен запис масиву містить (вказівник на голову) пов'язаних списків. Це гарна ідея, оскільки очікувана довжина списку невелика ( ), хоча ймовірність виникнення зіткнень висока. Зрештою, отримуємо Це можна трохи покращити, зберігаючи списки (частково або повністю) всередині таблиці. C S n ≈1+$\frac{n}{m}$

$$C_n^S \approx 1 + \frac{\alpha}{2} \quad \text{ and } \quad C_n^U \approx 1 + \frac{\alpha^2}{2} .$$

Лінійне зондування

При вставці (відповідно пошуку значень) перевіряйте позиції у цьому порядку до порожнього положення (відповідно ) знайдено Перевага полягає в тому, що ми працюємо локально і без вторинних структур даних; однак кількість середніх доступів розходиться для : Однак для продуктивність порівнянна з ланцюжком².$v$

$$h(v), h(v)-1,\dots,0,m-1,\dots,h(v)+1$$ $v$$\alpha \to 1$ $$C_n^S \approx \frac{1}{2}\left(1 +\frac{1}{1-\alpha}\right) \quad \text{ and } \quad C_n^U \approx \frac{1}{2}\left(1 +\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)^2\right).$$ $\alpha < 0.75$

Подвійний хешинг

Подібно лінійним зондуванням , але розмір кроку пошуку управляється з допомогою другого хеш - функції , яка є взаємно просте з . Офіційне виведення не наводиться, але емпіричні спостереження говорять про те, що Цей метод був адаптований Brent; його варіант амортизує збільшені витрати на введення при дешевших пошуках.$M$

$$C_n^S \approx \frac{1}{\alpha}\ln\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)\quad \text{ and } \quad C_n^U \approx \frac{1}{1-\alpha} .$$

Зауважте, що видалення елементів із та розширення таблиць має різну ступінь складності для відповідних методів.

Знизу ви повинні вибрати реалізацію, яка добре адаптується до ваших типових випадків використання. Очікуваний час доступу в можливий, якщо не завжди гарантується. Залежно від використовуваного методу, важливим є утримання низького рівня; вам потрібно розмістити (очікуваний) час доступу порівняно з простором накладних витрат. Очевидно, хороший вибір для також є центральним.$\mathcal{O}(1)$$\alpha$$h$

---

1] Оскільки довільно тупі неінформовані програмісти можуть надати , будь-яке припущення щодо його якості є практичним розтягненням. 2] Зауважте, як це збігається з рекомендаціями щодо використання Java .$h$
Hashtable

Досконала хеш - функція може бути визначена як ін'єкційних функція з безлічі на підмножина цілих чисел . Якщо для ваших потреб і зберігання даних існує ідеальна хеш-функція, ви можете легко отримати поведінку . Наприклад, ви можете отримати продуктивність з хеш - таблиці для наступної задачі: дані масив цілих чисел і безліч цілих чисел, визначити , є чи містить для кожного . Етап попередньої обробки передбачає складання хеш-таблиці в подальшим перевіркою кожного елемента проти нього в$S$$\{0, 1, 2, ..., n\}$$O(1)$$O(1)$$l$$S$$l$$x$$x \in S$$O(|l|)$$S$$O(|S|)$ . Загалом це . Наївна реалізація за допомогою лінійного пошуку може бути ; використовуючи двійковий пошук, ви можете робити (зауважте, що це рішення - простір , оскільки хеш-таблиця повинна відображати окремі цілі числа в для різних бін).$O(|l| + |S|)$$O(|l||S|)$$O(\log(|l|)|S|)$$O(|l|)$$l$

EDIT: Щоб уточнити, як генерується хеш-таблиця в :$O(|l|)$

Список містить цілі числа від кінцевого безлічі , можливо , з повторами і . Хочемо визначити, чи - . Для цього попередньо обчислюємо хеш-таблицю для елементів : таблиця пошуку. Хеш-таблиця буде кодувати функцію . Для того, щоб визначити , спочатку припустимо для всіх . Потім лінійно просканувати елементів з , вважаючи . Це займає час і$l$$U \subset \mathbb{N}$$S \subseteq U$$x \in S$$l$$l$$h: U \rightarrow \{true, false\}$$h$$h(x) = false$$x \in U$$y$$l$$h(y) = true$$O(|l|)$$O(|U|)$ простір.

Зауважте, що мій оригінальний аналіз припускав, що містить принаймні різних елементів. Якщо вона містить менше різних чітких елементів (скажімо, ), потреба в просторі може бути вищою (хоча вона не більше ).$l$$O(|U|)$$O(|1|)$$O(|U|)$

EDIT2: Хеш-таблицю можна зберігати як простий масив. Хеш - функція може бути тотожною функції на . Зауважте, що функція ідентичності є тривіально ідеальною хеш-функцією. - хеш-таблиця і кодує окрему функцію. Мене неодноразово / плутають деякі з перерахованих вище, але я спробую це вдосконалити найближчим часом.$U$$h$

Ідеальна хеш-функція призведе до найгіршого пошуку .$\cal{O}(1)$

Більше того, якщо максимальна кількість можливих зіткнень дорівнює , то в найгіршому випадку пошук хеш-таблиці може бути . Якщо очікувана кількість зіткнень дорівнює , то в середньому випадку пошук пошуку хеш-таблиці може бути .O ( 1 ) O ( 1 ) O ( 1 $\cal{O}(1)$$\cal{O}(1)$$\cal{O}(1)$$\cal{O}(1)$