Перетин та об'єднання звичайної та нерегулярної мови

Нехай буде регулярним, регулярним, не регулярним. Покажіть, що не є регулярним або дайте контрприклад. $L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

Я спробував це: подивіться на . Цей регулярний. Я можу побудувати для цього кінцевий автомат: регулярний, регулярний, тому видаліть усі шляхи (скінченна кількість) для з кінцевої кількості шляхів для . Таким чином, для всієї цієї речі залишилось кінцева кількість шляхів. Ця річ не відрізняється від , але як я можу довести, що об'єднання (регулярне) та (не регулярне) не є регулярним? $L_1 \setminus (L_2 \cap L_1)$ $L_1$ $L_2 \cap L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \setminus (L_1 \cap L_2)$ $L_2$

formal-languages regular-languages

— Кевін
джерело

"тому видаліть усі шляхи (кінцева кількість) для з кінцевої кількості шляхів для " - що це повинно означати? Звичайний спосіб побудувати автомат для різниці - за допомогою та відомих конструкцій для доповнення та перетину.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1\cap L_2$

L_{1}

$L_1$

A ∖ B = A \cap \bar{B}

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

— Рафаель

Я вважаю за краще змінити назву цього питання. Сама по собі назва питання - неправильне твердження.

— nitishch

Відповіді:

Ми можемо довести це протиріччям. Давайте визначимо . Тоді ми можемо переформулювати : $\overline{L_1} = \Sigma^* \setminus L_1$ $L_2$

$L_2 = ((L_1 \cup L_2) \setminus L_1) \cup (L_1 \cap L_2) = ((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$

Ми знаємо:

Регулярні мови закриваються під союзом, перетином та доповненням
$\overline{L_1}$ та є регулярними $L_1 \cap L_2$
$L_2$ не є регулярним

Тепер припустимо, що є регулярним: Тоді є регулярним (оскільки це лише об'єднання / перетин регулярних мов), так буде регулярним. Це суперечність, тому наше припущення помилкове, і не може бути регулярним. $L_1 \cup L_2$ $((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

— Майк Б.
джерело

Я думаю, що я це отримав. Але чому доповнення до звичайної мови є регулярним? Я не розумію цієї частини.

— Кевін

@Kevin Це добре відома лема, тому слід знайти доказ у будь-якому підручнику. Один з методів доказування - взяти скінченний автомат і поміняти стан прийому і неприйняття: ви отримаєте автомат, який розпізнає мову комплементу.

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

А що за недетерміновані кінцеві автомати? Припустимо, у нас є автомати. , один початковий стан, дві стрілки з цього стану з в інший стан. Одне з цих станів приймає, а інше - ні. Отже . Якщо ми зараз поміняємо місцями, що приймають, він все одно прийме , тому не вважається, що він приймає мову доповнення!

A = {a, b}

$A = \{a,b\}$

a

$a$

L (M) = {a}

$L(M)=\{a\}$

{a}

$\{a\}$

— Кевін

Доказ Жиля працює лише для детермінованих кінцевих автоматів, що - для звичайних мов - не є обмеженням. Але, як він сказав, цю лему можна знайти в будь-якому підручнику.

— Майк Б.

@Kevin: Майк означає, що кожна звичайна мова має детермінований автомат, щоб розпізнати її, щоб ви завжди могли нею користуватися.

— reinierpost

-4

Це неправильно. Розглянемо , . регулярний, - не; але . $L_1 = \{a, b\}^*$ $L_2 = \{a^n b^n : n \ge 0\}$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \cup L_2 = L_1$

— фонбранд
джерело

Ви не виконали умову регулярності .

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Андрій Бауер