Чи існує зв’язок між проблемою зупинки та термодинамічною ентропією?

Алан Тьюрінг запропонував модель машини (машина Тьюрінга, ТМ), яка обчислює (числа, функції тощо) і доводила теорему Холтінга .

TM - це абстрактне поняття машини (або двигуна, якщо вам подобається). Теорема зупинки - результат неможливості. Carnot Engine (CE) - це абстрактне поняття теплового двигуна, і Карно довів теорему Карно , ще один результат неможливості, пов'язаний з термодинамічною ентропією.

З огляду на те, що ТМ фізично реалізований (принаймні настільки, як СЕ, а може і ні?) Чи є відображення чи представлення або "ізоморфізм" ТМ або СЕ, які могли б дозволити уніфікувати ці результати та додатково підключитися до ентропії?

Звичайно, існують формулювання ТМ і теореми Халтінга з точки зору алгоритмічної теорії інформації (наприклад, Хайтін, Колмогоров та ін.) Та ентропії (в цьому контексті). Питання вимагає більш фізичної концепції ентропії (якщо в процесі потенційної відповіді виникає алгоритмічна ентропія, це добре, але це не те, що питання задає точно).

Можна також перевірити ще одне питання у physics.se, яке пов'язує квантову невизначеність із 2-м законом термодинаміки. Дивіться також: алгебраїчна характеристика ентропії , алгоритмічна характеристика ентропії , огляд та зв'язки між різними рецептурами ентропії

Я зовсім не фахівець у цій галузі, але я вірю, що вам будуть цікаві оборотні обчислення . Це включає, серед іншого, вивчення взаємозв'язку між фізично оборотними процесами та процесами, які є логічно оборотними. Я думаю, було б справедливо сказати, що "засновниками" галузі були / є Ральф Ландауер та Чарльз Н Беннетт (я думаю, обидва дослідження IBM).

Він торкається квантових обчислень та теорії квантової інформації, а також вивчає питання типу "які межі обчислень за часом, простором та енергією?" Відомо, (якщо я правильно пам’ятаю), що ви можете зробити енергію, необхідну для здійснення оборотного обчислення, довільно малим, змусивши його тримати довільно довгий час. Тобто, енергія час (= дія ), необхідна для здійснення оборотного обчислення, може бути константною. Це не стосується незворотних обчислень.$\times$

Багато людей, що навчаються в цій галузі, також працюють над квантовими обчисленнями та цифровою фізикою (ідея про те, що Всесвіт - це великі квантові клітинні автомати). Імена дослідників, які спадають на думку, - Ед Фредкін , Томмазо Тоффолі та Норм Марголус .

Ці питання абсолютно актуальні для інформатики. Не тільки для теорії (яка включає в себе класну математику, а також круту фізику), але і для інженерів, які хочуть знати граничні межі обчислень. Чи потрібен мінімальний обсяг або енергія, щоб зберігати трохи інформації? Рішення експерта патентного відомства потрібно виконувати оборотне обчислення може бути постійними, але є обмеження на те , що константа? Це критичні знання для інженерів, які намагаються просунути межі можливого.

Я не знайомий з теоремою Карно, за винятком того, що я щойно читав у Вікіпедії, але навіть із цього короткого вступу є структура в доказі, і це може бути цікаво для вас, оскільки це техніка доказування що застосовується у багатьох областях.

Вони обоє докази суперечності, в яких можна показати, що жодна річ у даному класі не має певної властивості, ви припускаєте, що якийсь екземпляр насправді має це властивість, а потім показуєте, що слід суперечність.

Проблема зупинки цікава тим, що суперечність виникає з деякої самовзаємодії стосовно конкретного екземпляра (це машина M, яка може визначити, чи зупиниться довільна машина з заданим входом). Зокрема, ви конструюєте нову машину, яка включає M як компонент, а потім подаєте нову машину на M.

Хтось, хто має більше знань про теорему Карно, міг би детально розглянути її (що я не кваліфікований), але виявляється, що протиріччя виникає з типу теплового двигуна, який ви могли б створити, якби у вас був екземпляр із властивістю під рукою.

Отже, обидва випадки пов'язані з побудовою:

• Припустимо, деякий X має властивість P.
  • З X побудуйте споріднену Y.
  • Відносини між X і Y суперечливі.
• Тому жоден X не має властивості P.

Однак, мабуть, є різниця в тому, що суперечність у випадку теореми Халтінга є суто логічним протиріччям і була б суперечливою у будь-яких умовах класичної логіки. Теорема Карно, наскільки я її розумію, суперечить лише другому закону термодинаміки. З логічної точки зору, це аксіома, тож якби ви прийняли іншу аксіоматизацію, в якій не діяв другий закон термодинаміки, теорема Карно не була б теоремою, оскільки суперечності не існувало б. (Як виглядала б формалізація термодинаміки без другого закону, це таке питання, яке привело геометри до неевклідової геометрії.)

IANAPфізик, але я не бачу зв'язку. Машини Тьюрінга - це об'єкти чистої математики, і невирішеність проблеми зупинки не залежить від фізичної реалізації чого-небудь.

на це різноманітне багато тематичне запитання немає простої / простої відповіді та стосується активних областей дослідження ТКС. однак це рідкісне запитання, яке задає питання про зв'язок фізики та TCS, який зацікавив мене протягом багатьох років. Є кілька різних напрямків, щоб продовжити це. основна відповідь полягає в тому, що це "відкрите питання", але з деякими активними / сучасними дослідженнями, що торкаються його і натякають на зв'язки.

• є деякі дивовижні / глибоко нерозв'язні проблеми з передової фізики. наприклад, від динамічних систем. однак, я не бачив цього, пов'язаного з ентропією, але ентропія пов'язана з усіма фізичними системами (наприклад, це можна побачити в теорії хімії), тому має бути принаймні непрямий зв'язок.

• ентропія дійсно виявляється в CS, але більше у формі теорії інформації та теорії кодування. теорія народження кодування передбачала визначення / аналіз ентропії, пов'язаної з кодами зв'язку Шенноном. спробуйте цю чудову теорію ентропії та інформації в Інтернеті від Грея

• Ентропія також іноді пов'язана з вимірюванням випадковості в PRNG. існує відомий розділ класів складності (наприклад, P =? NP) з PRNG у відомому документі "Природні докази" Розборова / Рудича. на цьому підрозділі тривають дослідження.

• Ви згадуєте термодинаміку та її з'єднання з ТКС. існує глибокий зв’язок між намагніченістю в спінових склянках з фізики та повними проблемами NP, вивченими в точці переходу SAT. там (знову ж таки) фізична система пов'язана з ентропією, але вона, ймовірно, вивчалася більше в контексті фізики, ніж в контексті TCS.

Існує проста проблема думки, яка іноді використовується як вступ до нетрадиційних обчислювальних парадигм:

У вас є дві лампочки та їхні відповідні вимикачі. Хтось відкриває і закриває обидва вогні один за одним. Як визначити, який із них було закрито першим, а який - останнім? Визначте мінімальну кількість разів, коли вам потрібно буде відкрити ліхтарі, щоб вирішити цю проблему.

Більшість комп'ютерних вчених зазвичай намагаються знайти якесь булеве логічне рішення. Відповідь така (принаймні одна з них): доторкнувшись до лампочок і побачивши, яка з них гарячіша.

Парадигми на основі тепла існують в інформатиці: модельований відпал - відомий алгоритм (квантовий комп'ютер D-хвиль - квантовий аналог алгоритму).

Тепер чи існує зв’язок із проблемою зупинки?

Класична робота Хайтіна та Калюда про задачу зупинки через концепцію чисел Омеги може бути пов'язана з імовірнісним формулюванням задачі Холтінга. Я думаю, що це останній трактат з проблеми ... і ніякого чіткого зв'язку з ентропією (термодинамічною). Тепер, якщо інформаційна ентропія (в сенсі Шеннона) добре з вами, число Омега кодує найбільш стислим способом проблему Халтінга, у сенсі пов'язаної Шеннона.

Коротше кажучи, число Омеги - це ймовірність того, що випадкова програма зупиняється. Знання константи дозволило б перерахувати всі дійсні математичні твердження (істини, аксіоми тощо) і є незаперечним. Calude обчислював версію Omega, змінюючи рівномірний показник ймовірності на міру, обернено пропорційну довжині випадкової програми, та використовуючи кодування, що не містять префіксів. Таким чином, ми могли б говорити про Omega Chaitin і Omega Calude.

Так !, як не дивно, я про це думав .. Ось ідея:

Перший крок

Моделюйте демона Максвелла як комп'ютерну програму. Потім, як Демон дізнався про швидкість і положення частинок перед відкриттям дверей для вибору?

Припустимо, демон не може виміряти швидкість, з якою частинки потрапляють у двері, чому? бо це змінило б швидкість частинок, тому демон повинен розібратися, перш ніж відкрити її, не дивлячись, не вимірюючи. Справедливості ми будемо повідомляти демону про правила гри заздалегідь, тобто годувати демона законами руху, взаємодіями частинок та початковими умовами, достатньою для фізичної / динамічної моделі.

Другий крок

Тепер моделюють газ частинок також як комп’ютерну програму, яка виконує той самий код, який надається демону для кожної частинки, тому газ обчислює результат від його початкових умов, Демон не знає цього результату, поки він не зупиниться (якщо коли-небудь ): а саме "частинка з потрібною швидкістю знаходиться у дверях", рішення так / ні питання, яке ми задаємо системі: "Чи має частинка правильне положення і достатня швидкість?", якщо так, двері можна було б відкрити і швидка частинка може перейти в бік високої температури приміщення, встановивши нові початкові умови (відповіді на ці послідовні проблеми? чи будуть працювати назавжди?)

Буде час, коли немає частинки з достатньою швидкістю для переходу кордону, тож настане час, коли код буде працювати назавжди (не зупинятись) майже на будь-якому заданому порозі.

Демон хоче знати результат, який обчислюється газом, але результат у певному сенсі задіяний у вихідному коді законів частинки плюс початкові умови. Звичайно, нам потрібно запустити цю програму, щоб її знати. Якщо Демон запустить ту саму програму, чекаючи потрібної швидкості на виході, програма може зупинитися або вона може працювати назавжди (але ми припускаємо також, що демон не має більше обчислювальної потужності, ніж газ, тому він не зможе вирішити вчасно відкриття дверей).

Демон може спробувати з'ясувати вихід програми (або якщо він зупиниться), переглядаючи джерело та входи, не запускаючи його, але це як спробувати вирішити проблему зупинки, чому? тому що Демон не знає, якими законами та початковою умовою буде подаватися, тому Демон повинен бути готовий вирішити для будь-якого закону та початкових умов, і ми знаємо, що це взагалі неможливо, йому знадобиться оракул, якщо він зможе буде достатньо, щоб побудувати демона, щоб генерувати енергію з нічого. (навіть знаючи закони та початковий стан, обидві речі вже досить важко знати)

Цей мислительний експеримент може пов'язувати, як зменшення ентропії за допомогою комп’ютерів може певним чином обмежувати проблему зупинки , як проблему передбачити загальні результати.

(Іноді всі межі здаються однаковими.)

Детальніше про закони про частинки

Закони частинок не є головним питанням цього мисленого експерименту; ці закони можуть бути квантовими або класичними, але ми маємо враховувати факт складності законів та початкових умов, складність розташування частинок не обмежена, і це могло б бути мають велику кількість складності (в крайньому прикладі початкових умов ви навіть можете вставити цілий комп'ютер, що вистрілює частинки відповідно до внутрішнього вихідного коду, і надати цей код демону).

Дійсно дуже захоплююче питання, і ми побачимо, що ваше мислення є правильним .

Спочатку давайте подивимося, що говорить другий принцип термодинаміки.

Функція ентропії використовується в 2-му законі термодинаміки. Це випливає з теореми Карно, яка стверджує, що ефективність процесів, що відбуваються в парових машинах, має ефективність, нижчу або в кращому випадку рівну відповідній "оборотному" машині (що, до речі, здається нестабільною концепцією за 150 років термодинаміки). Карно не створив функцію ентропії сам, але разом із Клаузієм це кажуть:

Оскільки не існує вічного апарату, то ми можемо побудувати функцію S, звану ентропією, яка обмежує макроскопічні термодинамічні заходи в певне рівняння, а саме, що S (V, T, P тощо) = 0

Зауважимо, що це рівняння - це не що інше, як рівняння гіперповерхні в просторі термодинамічних мір.

Входить в Каратеодорій.

Каратеодорій - німецький математик, і, як і всі математики, він хоче витягнути з Карнота та Клаузія обґрунтування деяких аксіом, які дозволять йому з'ясувати, що насправді йде про другий закон . Відверто кажучи, він хоче очистити термодинаміку, щоб точно знати, що таке ентропія.

Перерахувавши певну кількість аксіом, йому вдається сформулювати СВОЙ другий закон, який говорить (більш-менш):

Є деякі адіабатичні процеси. Або, більш прозаїчно, якщо ви хочете повернутися, іноді самотньої роботи недостатньо. Вам потрібно трохи тепла.

Тепер це здається ДУЖЕ відмінним від формулювання Клаусія! Але насправді це не так. Все, що Carathéodory робив, - це змінити порядки слів, схоже на те, що математики протягом 2000 років грали з 5-ї аксіомою Евкліда і створили багато різних формулювань для цієї аксіоми. І якщо ви зробите крок назад, ви не повинні надто дивуватися твердженню Каратеодорі другого закону. Насправді Каратеодорі призводить до точно такої ж функції ентропії та рівняння поверхневого рівня S (V, T, P тощо) = 0

Подумайте над теоремою Карно. Як математик, ви не повинні бути занадто задоволені тим, як Карно визнає, що не існують вічні машини. Насправді, як математик, ви швидше побачите щось подібне:

Існує ентропійна функція S, яка стримує макроскопічні заходи, АБО ТАКІ ЛЮБИТЬ, якщо немає вічних машин ".

ЗАРАЗ у вас є теорема. А що це говорить? Якщо поки немає ізольованої механічної системи, яка виробляє нескінченну кількість енергії і, отже, може привести вас до будь-якого стану, якого ви хочете, тоді ви знайдете функцію ентропії. Ізольована механічна система є адіабатичним процесом. Звідси формулювання Каратеодорі: жодна адіабатична система не може вести вас нікуди. Іноді вам знадобиться трохи тепла.

Тож ми не тільки впевнені, що Каратеодорі правильні, але й те, що його формулювання досить просте.

Тепер звідки у вас складається враження, що другий закон à la Carathéodory схожий на проблему зупинки?

Зробіть крок назад до заяви Каратеодорі. Все це говорить про те, що коли у вас є ізольована механічна система, з якою ви перестаєте змішуватися, ви не зможете досягти будь-якого стану, якого ви хочете.

Це не звучить ТОЧНО, як проблема зупинки? Тобто, коли ви написали всі аксіоми своєї теорії та заклали всі можливі переходи, виникнуть проблеми, які ви не зможете вирішити. Іноді вам потрібно буде додати більше аксіом.

Насправді, якщо ви хочете по-справжньому заглибитись і кодувати формулювання Carathéodory, це призведе до того ж коду, що і проблема зупинки адіабатичних процесів замість машин Тьюрінга, а держави замість проблем.

Як ти гадаєш?

ПРИМІТКА. Свою відповідь я відредагував майже повністю, щоб коментарі нижче не відповідали тому, що вона містить зараз.