Чи завершені булеві функції Turing

9

Булева функція - це функція $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ .

Булева основа $(\vee,\wedge)$ Відомо, що Тьюрінг завершений, оскільки дозволяє будь-яку послідовність $s\in\{0,1\}$ перевернути або залишити без змін. Те саме можна сказати $\mathrm{XOR}$ ворота.

У цьому сенсі ми можемо почати з початкової конфігурації машини $\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$ такий як $b_i\in\{0,1\}$ і $\mathrm{XOR}$ це з послідовними значеннями $\textbf{v}_i$ :

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

Кожна держава $\textbf{v}_i$ буде представляти перестановку якогось елемента в $\textbf{b}$ . Цей процес ефективно імітує машину Тьюрінга і передбачає, що існує якийсь генератор для значень $\textbf{v}_i$ .

Тож чи можна сказати, що булеві функції Тьюрінга завершені?

turing-machines turing-completeness boolean-algebra

— користувач13675
джерело

1

Як ця техніка могла застрягти в нескінченному циклі?

— Гільденстерн

Я здогадуюсь, що річ у тому, що хоча булевий ланцюг формалізм ізоморфний формалізму Тьюрінга, він не говорить вам про те, як побудувати та генерувати таку програму ... Вам потрібно просто "знати" значення

v_{i}

$\textbf{v}_i$ ...

— користувач13675

8

Неофіційно мова (програмування) є Тюрінг завершеною, якщо кожна обчислювана функція має представлення. Загальна обчислювальна функція приймає введення довільного розміру. Булові функції, з іншого боку, приймають введення фіксованого розміру. Отже, булеві функції навіть не кваліфікуються як потенційно завершені Тьюрінгом.

Відповідне поняття повноти тут є повною основою сполучників. Набір сполучників ( $k$ -ary функції на булеві значення для довільних $k$ ) завершено, якщо кожна булева функція включена $x_1,\ldots,x_n$ (для довільного $n \geq 1$ ) можна представити за допомогою сполучників. Наступні комплекти є завершеними: основа де Моргана $\{\lnot,\lor,\land\}$ і основа $\{\lnot,\Rightarrow\}$ . У контрасті, $\{\lnot,\oplus\}$ не є повною: вона може виражати лише лінійні функції.

— Юваль Фільм
джерело

Чи буде їх аналог, булеві схеми, Тюрінгом завершеним? Я здогадуюсь, вони з тих пір, коли Кук (у своєму доказі NP-повноти 3SAT) показав, наскільки машини Тьюрінга та булеві схеми рівноцінні?

— користувач13675

@ user13675 Ні, це точно та сама проблема. Кожна машина, що зупиняється на Тьюрінга, може бути перетворена в еквівалентну булеву схему або формулу для кожного розміру вводу, але для кожного розміру вам знадобиться інший.

— Yuval Filmus

5

строго кажучи, як відповів YF, кінцеві схеми не можуть бути Тьюрінга завершеними.

однак варто згадати привід у відповідь на це питання (а може, і те, що ви шукаєте) тісно пов'язана концепція, що використовується досить широко в теорії, коли схеми використовуються для обчислення функцій сильніше ніж Тьюрінг завершений.

а саме схеми сімей. сімейство схем може обчислювати нескінченні мови. кожен вхід розміру $n$ має пов'язану схему / функцію $C_n$ побудований за допомогою якогось методу, не обов'язково побудований за допомогою TM! мови мов ланцюгів, які можна обчислити визначальними ТМ, відомі як рівномірні схеми, а схеми, які не можна сконструювати в межах цього класу, відомі як неоднорідні .

— взн
джерело