Тестування, чи лежить тетраедр всередині багатогранника

У мене є тетраедр і багатогранник p . t обмежений таким чином, що він завжди ділить усі свої вершини з p . Я хочу визначити, чи лежить t всередині p .$t$ $p$$t$$p$$t$ $p$

Я хотів би додати одну деталь до проблеми, якщо вона може сприяти вирішенню: - тетраедр Делоне, а грані р є трикутними і сильно відносяться до вершин р . Тетраедром є Делоне, якщо навколо його вершин немає іншої вершини. Обличчя сильно делоне, якщо на його поверхні існує навколосфера, що містить вершини цього обличчя, але немає іншої вершини на ній або всередині неї.$t$$p$$p$

Ці цифри показують ту ж проблему в просторі: $2D$

Оригінальний багатокутник $p$ :

Делоне триангуляція вершин $p$ :

Результат тесту всередині / зовні над трикутниками $t$ (Затінені трикутники знаходяться всередині а решта - зовні ):$p$

Бажаний результат (обрізка зовнішніх трикутників) :

Моя оригінальна проблема в 3D-просторі, тому трикутники на наведених фігурах переводяться на тетраедри, а багатокутник p перекладається на довільний багатогранник p . Я розібрався в деяких формулюваннях цієї проблеми:$t$$p$$p$

Формулювання 1
Єдиними частинами які можуть бути поза p, є його краї та трикутні грані, але в цілому може існувати p, у якого на його поверхні є ребра всіх зовнішніх t , тому, як альтернатива, ця проблема також може бути сформульована як перевірити, чи існує для тетраедра t грань, яке лежить поза p ?$t$$p$$p$ $t$$t$ $p$

Формулювання 2 У
мене є інша можлива точка зору на цю проблему, але вона не має будь-якої формальної ідеї:
Геометрично, якщо зовні, то вона завжди буде триматися на зовнішній поверхні p . Отже, якщо ми можемо обчислити контури (неофіційно, зовнішня межа) C V і C V p такі, що V = V t ∪ V p і V t , V p - це множини вершин у t , p відповідно, тоді $t$$p$$C_{V}$$C_{V_{p}}$$V=V_{t}\cup V_{p}$$V_t,V_p$$t,p$ ifftлежить всерединіp. $C_{V}=C_{V_p}$ $t$$p$

Я хотів би знати:

• Як я можу вирішити або формулювання 1, або формулювання 2 ?
• Або чи існує зовсім інший підхід до вирішення цього питання?

Оновлення:
Тепер я розумію, що цю проблему можна звести до точки в задачі багатогранника . Оскільки зовнішній тетраедр матиме принаймні одну грань, яка лежить поза p , то будь-яка довільна точка на цій грані (крім її вершин, взагалі) завжди буде лежати поза p . Тому для кожної грані t мені потрібно взяти довільну точку і перевірити, чи лежить ця точка поза p .$t$$p$ $p$$t$ $p$

З моменту статті в полігоні я дізнався про алгоритм лиття Рея та алгоритм намотування чисел . Проміння лиття не є чисельно стійким для випадків, коли точка лежить на поверхні . Але чисельна надійність алгоритму числення Winding там не була вирішена. $p$

Виходячи з вищесказаного, тепер, здається, моя основна проблема (будь-ласка, підкажіть, чи слід це ставити як окреме запитання):
Чи є чисельно надійний алгоритм для точки в полігоновій задачі?

Нещодавно я знайшов одне рішення цієї проблеми в роботі "Робоча сегментація всередині та зовні з використанням узагальнених намотувальних чисел" від Alec Jacobson et.al., тут . Він вирішує проблему розташування, якщо точка знаходиться всередині (або зовні) довільної (такої, що має самоперехрестя, не багатообразних, відкритих поверхонь тощо) багатокутної сітки, використовуючи поняття узагальненого числа обмотки .

$t$$p$