Очікувана кількість свопів у сортуванні бульбашок

Враховуючи масив з цілих чисел, кожен елемент масиву може бути збільшений на фіксоване число з деякою ймовірністю , . Я повинен знайти очікувану кількість свопів, які відбудуться для сортування масиву за допомогою сортування бульбашок .$A$$N$$b$$p[i]$$0 \leq i < n$

Я спробував таке:

1. Ймовірність для елемента для може бути легко обчислена з заданих ймовірностей.$A[i] > A[j]$$i < j$

2. Використовуючи вищесказане, я розрахував очікувану кількість свопів як:

   double ans = 0.0;
   for ( int i = 0; i < N-1; i++ ){
       for ( int j = i+1; j < N; j++ ) {
           ans += get_prob(A[i], A[j]); // Computes the probability of A[i]>A[j] for i < j.
   

В основному я прийшов до цієї ідеї, оскільки очікувана кількість свопів можна обчислити за кількістю інверсій масиву. Отже, використовуючи задану ймовірність, я обчислюю, чи буде число замінено числом .A [ j $A[i]$$A[j]$

Зауважте, що початкові елементи масиву можуть бути в будь-якому порядку, відсортовані або несортовані. Тоді кожне число може змінюватися з певною вірогідністю. Після цього я повинен підрахувати очікувану кількість свопів.

Я раніше розміщував подібне запитання, але він не мав усіх обмежень.

Я не отримав жодних добрих підказів щодо того, я навіть на правильному шляху чи ні, тому я перерахував тут усі обмеження. Будь ласка, дайте мені підказки, якщо я думаю про проблему неправильно.

Нехай визначається так:$\sf{Bubble Sort}$

for (j = A.length; j > 1; j--)
    for (i = 0; i < j - 1; i++)
        if (A[i] > A[i + 1])
            swap(i, i + 1, A)

З огляду на деяку перестановку , як кажуть , відбулася інверсія, якщо x j < x i для деяких i < j . Ми бачимо, що B u b b l e S o r t проводить перевірку інверсії для кожної пари, а якщо так, то здійснює своп. Нехай X - кількість свопів. Не важко побачити в гіршому випадку є X = ($x_1, \cdots, x_n$$x_j < x_i$$i < j.$$\sf{Bubble Sort}$$X$ можливі зроблені свопи. Але нас цікавить очікуваний випадок, який ми можемо обчислити, визначившиXз точки зору інверсії вBubbleSort.$X = \binom{n}{2}$$X$$\sf{Bubble Sort}$

Тепер нехай де I i j - індикативна змінна, що існує інверсія для деякої пари ( i , j ) . Очікування визначається як E [ X ] = E [ ∑ j ∑ i < j I i j ] = ∑ j ∑ i < j E [ I i j$X = \sum_j \sum_{i<j} I_{ij}$$I_{ij}$$(i,j)$$E[X] = E[\sum_j \sum_{i<j} I_{ij}] = \sum_j \sum_{i<j} E[I_{ij}]$. Тепер нам потрібно визначити .$P\{I_{ij}\}$

Припускаючи будь-яку можливу перестановку як вхідну, кожна з рівномірною ймовірністю, може бути показано, що . Причина цього полягає в тому, що при будь-якій можливій перестановці половина часуxj<xiі половина часуxi<xjдляi≠j.$P\{I_{ij}\} = \frac{1}{2}$$x_j < x_i$$x_i < x_j$$i \neq j$

Повертаючись до нашого розрахунку очікувань, ми бачимо, що $E[X] = \sum_j \sum_{i<j}E[I_{ij}] = \sum_j \sum_{i<j} \frac{1}{2} = \binom{n}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$