-алгебра в якості внеску в алгоритм

Я хочу уточнити, що означає давати алгебру як вхід до алгоритму, і я не знайшов дуже багато літератури про це. Отже, спершу я хочу запитати, чи можете ви порекомендувати книгу чи папір, що стосується теми аналізу складності алгебр над полями та чітко визначить проблему рішення .

Після деякого копання я щось знайшов і хочу поділитися цим тут, а також запитаю, чи є визначення мають сенс і відповідають літературі (якщо така є):

Визначення: Нехай поле і звичайно породжена комутативна - алгебра з адитивним базисом . Тепер ми хочемо захопити мультиплікативну структуру алгебри і тому запишемо кожен добуток базових елементів у вигляді лінійної комбінації всіх базових елементів: називаються коефіцієнтами структури . У нас прямо це є: $\mathbb F$$A$$\mathbb F$$b_1,\ldots, b_n\in\mathbb F$

$$\forall 1\leq i, j, k\leq n: \exists a_{ijk}: b_ib_j=\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k.$$ $a_{ijk}$ $$A \cong \left.\mathbb{F}[b_1, \ldots, b_n] \middle/ \left<b_i b_j-\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k\right>_{1\leq i,j\leq n}\right..$$ Тепер можна визначити таку задачу рішення: Щоб задати ізоморфізм досить , щоб написати кожен в вигляді лінійної комбінації елементів базису . $$\{(A,B)\mid A, B \text{ commutative $\mathbb F$-algebras with basis $b_1, \ldots b_n$ and } A\cong B\}.$$ $\phi:A\rightarrow B$$\phi(b_i)$$B$

Чи щось у цьому визначенні вам здається дивним чи ви вважаєте, що з цим можна працювати?

Мотивація: Моя мотивація за цим полягає в тому, щоб дати дуже чітке визначення проблеми рішення, щоб спочатку з'єднати її з іншими проблемами, тобто проблемою вирішення еквівалентності поліномів: Дано два поліноми , ми говоримо , що є еквівалентом для , якщо існує зворотній лінійне перетворення на змінні , такі , що . Іншими словами, два поліноми еквівалентні, якщо ви можете замінити кожну змінну лінійною комбінацією всіх змінних, щоб отримати інший многочлен.$f,g\in\mathbb F[x_1, \ldots, x_n]$$f$$g$$\tau$$f(\tau(x_1), \ldots, \tau(x_n))=g(x_1, \ldots, x_n)$

Я не впевнений, чи допомагає це як мотивація, але зв'язок цих проблем встановлюється шляхом побудови кінцево генерованих комутативних -алгебр з двох многочленів, які є ізоморфними тоді і лише тоді, коли поліноми є рівнозначними. Для цього я хотів переконатися, що проблема вирішення визначена дуже чітко.$\mathbb F$

Це, мабуть, відповідає викладенню в « Еквівалентності -алгебр та кубічних форм$\mathbb{F}$ , Agrawal & Saxena (2006) .

Обчислюваність над математичною структурою - це довга і добре налагоджена область досліджень. Наприклад, див.

• Едвард Р. Гріффор, « Довідник з теорії обчислюваності », 1999

• Леонідович Єршов, " Довідник з рекурсивної математики: рекурсивна алгебра, аналіз та комбінаторика ", 1998

або google для:

• алгебра обчислюваності
• теорія обчислювальної моделі