Чи скорочення Карпа ідентичне зменшенню Левіна

Визначення: Зменшення Карпа

Мова - Карп, приведена до мови B, якщо є функція, що обчислюється в поліномі-часі f : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ така, що для кожного x , x ∈ A тоді і лише тоді, коли f ( x ) ∈ B .$A$$B$$f:\{0,1\}^*\rightarrow\{0,1\}^*$$x$$x\in A$$f(x)\in B$

Визначення: Зниження Левіна

Проблема пошуку Левіна зводиться до задачі пошуку V B, якщо є функція часу полінома f, що Карп зменшує L ( V A ) до L ( V B ), і є функції, що обчислюються в поліномії, g і h такі, що$V_A$$V_B$$f$$L(V_A)$$L(V_B)$$g$$h$

1. ,$\langle x, y \rangle \in V_A \implies \langle f(x), g(x,y) \rangle \in V_B$

2. $\langle f(x), z \rangle \in V_B \implies \langle x, h(x,z) \rangle \in V_A$

Чи ці скорочення рівноцінні?

Я думаю, що два визначення є рівнозначними. Для будь-яких двох мовах A і B , якщо є Короп зводиться до B , то є Левін зводиться до B .$\mathsf{NP}$$A$$B$$A$$B$$A$$B$

Ось мій доказ:

Нехай і ¯ х довільні екземпляри А , а х ' в тому , що з B . Нехай V і V B є випробувачі A і B . Нехай у і ¯ г довільні сертифікати х і ¯ х в відповідно до V A . Нехай г бути , що з ї ' в відповідно до V B .$x$$\overline{x}$$A$$x'$$B$$V_A$$V_B$$A$$B$$y$$\overline{y}$$x$$\overline{x}$$V_A$$z$$x'$$V_B$

Побудуйте нові верифікатори і V ' B з новими сертифікатами y ' і z ' :$V'_A$$V'_B$$y'$$z'$

$V'_A(x,y'):$

1. : Якщо F ( х ) ≠ F ( ¯ х ) , відкидають. В іншому випадку виведіть V A ( ¯ x , ¯ y ) .$y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$$f(x)\ne f(\overline{x})$$V_A(\overline{x},\overline{y})$
2. : Вихід V B ( F ( х ) , г ) .$y'=\langle 1,z\rangle$$V_B(f(x),z)$

$V'_B(x',z'):$

1. : Вихід В В ( х ' , г ) .$z'=\langle 0,z\rangle$$V_B(x',z)$

2. : Якщо х ' ≠ F ( х ) , відкидають. В іншому випадку виведіть V A ( x , y ) .$z'=\langle 1,x,y\rangle$$x'\ne f(x)$$V_A(x,y)$

Функції, що обчислюються в поліномі-часі і h , визначаються як нижче:$g$$h$

$g(x,y')$

1. : Вихід ⟨ 1 , ¯ х , ¯ у ⟩ .$y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$$\langle 1,\overline{x},\overline{y}\rangle$

2. : Вихід ⟨ 0 , г ⟩ .$y'=\langle 1,z\rangle$$\langle 0,z\rangle$

$h(x',z')$

1. : Вихід ⟨ 1 , г ⟩ .$z'=\langle 0,z\rangle$$\langle 1,z\rangle$

2. : Вихід ⟨ 0 , х , у ⟩ .$z'=\langle 1,x,y\rangle$$\langle 0,x,y\rangle$

Нехай безліч всіх сертифікатів х в відповідно до V A і Z х ' безліч всіх сертифікатів х ' в відповідно до V B . Тоді множина всіх сертифікатів x відповідно до V ' A дорівнює 0 ¯ x Y ¯ x + 1 Z f ( x ) така, що f ( x ) = f ( ¯ x$Y_x$$x$$V_A$$Z_{x'}$$x'$$V_B$$x$$V'_A$$0\overline{x}Y_\overline{x}+1Z_{f(x)}$$f(x)=f(\overline{x})$, а набір усіх сертифікатів згідно V ′ B дорівнює 0 Z x ′ + 1 ¯ x Y ¯ x таким, що x ′ = f ( ¯ x ) .$x'$$V'_B$$0Z_{x'}+1\overline{x}Y_\overline{x}$$x'=f(\overline{x})$

(Це походить від мови прийняття та V ′ B. )$V'_A$$V'_B$

Тепер нехай , решту частину легко перевірити.$x'=f(x)$

Ні. Спочатку зауважте, що зменшення Левіна має сенс лише стосовно класів, сертифікат яких має значення, наприклад, тоді як скорочення Карпа є загальним. Слово "сертифікат" для проблеми має сенс лише тоді, коли фіксований верифікатор. Скорочення Левіна передбачає, що верифікатори виправлені. Ви не можете змінити верифікатори. (Далі я припускаю, що перевіряючі сертифікати фіксуються, як того вимагає визначення скорочення Левіна.)$\mathsf{NP}$

По-друге, скорочення Левіна означає, що можна знайти сертифікат для одного з сертифіката для іншого. Це правда, що відомі скорочення Карпа між природними проблемами виявляються зменшенням Левіна, але це взагалі не потрібно.

Якщо ми можемо зменшити випадки проблеми до проблеми B, це не означає, що ми маємо спосіб обчислити сертифікат для одного з сертифіката для іншого.$A$$B$

Щоб це було правдою, нам потрібен той факт, що проблема пошуку сертифікатів, що відповідає проблемі рішення, є поліномним часом, зведеним до проблеми рішення. Це справедливо для проблем але невідомо, як правило, навіть для N P проблем.$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$

$x_1, x_2 \in L_1$$f(x_1) = f(x_2) \in L_2$$w$$x_1$$x_2$

$M_1'(x_1,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_1,w)=1$

$M_1'(x_2,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_2,w)=0$

$g(x_1,\langle 0,w \rangle) = \langle 1,x_1,w \rangle$

$f(x_1)=f(x_2)$$M'_2(f(x_2),\langle 1,x_1, w \rangle)) = M_1(x_1,w) = 1$$\langle 1,x_1, w \rangle$$f(x_2)$ але

$h(f(x_2), \langle 1,x_1, w \rangle) = \langle 0, w \rangle$$x_2$