Залежності еквівалентності охоплюють задачу (в теорії графів)

Відношення еквівалентності на множині кінцевих вершин може бути представлене ненаправленим графіком, який є неперервним об'єднанням кліків. Набір вершин представляє елементи, а ребро означає, що два елементи є рівнозначними.

Якщо у мене є графік і графіки , ми говоримо, що охоплено якщо множина ребер дорівнює об’єднанню множин ребер . Крайові набори не потребують роз'єднання. Зауважимо, що будь-який непрямий графік $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ може охоплюватися кінцевою кількістю співвідношень еквівалентності (тобто, неперервне об'єднання графіків кліків).

У мене є кілька питань:

Що можна сказати про мінімальну кількість співвідношень еквівалентності, необхідних для покриття графіка ? $G$
Як ми можемо обчислити це мінімальне число?
Як ми можемо обчислити явний мінімальний прикриття , тобто набір відношень еквівалентності, розмір яких мінімальний і які охоплюють ? $G$ $G$
Чи є в цій проблемі якісь додатки, крім логіки розділів ( подвійність логіки підмножини )?
Чи має ця проблема добре встановлену назву?

Враховуючи різні непорозуміння, зазначені в коментарях, ось кілька зображень для ілюстрації цих понять. Якщо у вас є ідея щодо легшої для розуміння термінології (замість "обкладинки", "відношення еквівалентності", "нерозбірливого об'єднання кліків" та "не обов'язково роз'єднання" об'єднання крайових наборів), сміливо повідомте мене про це.

Ось малюнок графіка та одне відношення еквівалентності, яке його охоплює: графік та одне відношення еквівалентності, що охоплює його

Ось малюнок графіка та два відношення еквівалентності, що охоплюють його: графік і два відношення еквівалентності, що охоплюють його
Це повинно бути досить очевидним, що потрібно принаймні два відношення еквівалентності.

Ось малюнок графіка та три співвідношення еквівалентності, що його охоплюють: графік і три відношення еквівалентності, що охоплюють його
Менш очевидно, що потрібно принаймні три співвідношення еквівалентності. Лема 1.9 з подвійної логіки підмножин може бути використана, щоб показати, що це правда. Узагальненням цієї леми до операцій на нанд з більш ніж двома входами було мотивацією для цього питання.

algorithms graph-theory clique

— Томас Клімпель
джерело

Це відома проблема NP-Complete . en.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_problem

— gardenhead

@StephenBly Можливо, це добре відома проблема, але посилання на wikipedia, яке ви дали, не дуже допомагає мені. У статті йдеться про проблему покриття вершин, але тут питання стосується проблеми крайового покриття. Також зауважте, що відношення еквівалентності - це не кліка, а непересічне об'єднання кліків.

— Томас Клімпель

Що ви маєте на увазі відношення еквівалентності - це нерозривне об'єднання кліків? Набір вершин представляє елементи, а ребро означає, що два елементи є рівнозначними. Якщо це не представництво, яке ви використовуєте, то вам слід уточнити це.

— садок

n - 1

$n-1$

n

$n$

n - 1

$n-1$

@YuvalFilmus Питання задає найменшу кількість відношень еквівалентності, об'єднання яких є саме крайовим відношенням даного графіка, а не чиє об'єднання просто включає даний графік.

— Девід Річербі

Відповіді:

$\text{eq}(G)$ $\text{cc}(G)$

Існують спеціальні класи графів, де відоме точне значення або хороша верхня межа для будь-якого числа. Загалом, наскільки мені відомо, найкращі межі дає Алон [1]:

{журнал}_{2} н - {журнал}_{2} г \leq екв (Г) \leq куб (Г) \leq 2 е^{2} (Δ + 1)^{2} \ln н,

$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$

$\Delta$ $G$ $\lceil n^2/4 \rceil$

$\sf NP$ $\text{eq}(G)$ $\sf NP$

[1] Алон, Нога. "Покриття графіків мінімальною кількістю відношень еквівалентності." Combinatorica 6.3 (1986): 201-206.

[2] Блокхуа, Аарт і Тон Клокс. "Про еквівалентність, що охоплює кількість розділових фрагментів." Інформаційні листи 54.5 (1995): 301-304.

[3] Кучера, Людек, Ярослав Нешетріл та Алеш Пультр. "Складність розмірності три та деякі пов'язані крайові характеристики графів". Теоретичні інформатики 11.1 (1980): 93-106.

— Джухо
джерело

Висновок 1.3 з [1] - саме те, що мені було потрібно (у версії, що стосується доповнення шляху). Тепер у мене більше немає підстав для того, щоб не писати папір про загальний підсумок "(A, B, C, ...) означають (Z, Y, X, ...)" (послідовність із послідовного обчислення) у розділі логіка та подібні некласичні логіки. Але я здогадуюсь, я не буду писати це принаймні ще півроку. І, можливо, я навіть тим часом знаходжу нове виправдання.

— Томас Клімпель

@ThomasKlimpel Це чудово! (Не факт, що ви можете знайти нове виправдання, але що це було корисно :-))

— Juho

Хоча я не знаю назви такої проблеми, я можу показати, що ця проблема є важкою для NP.

Для вільного трикутника графіка всі класи еквівалентності повинні відповідати. Мінімальна кількість класів еквівалентності, що охоплює графік, дорівнює хроматичному індексу графіка.

Згідно з цією статтею знаходження хроматичного показника для вільного трикутника графіка є NP-завершеним.

— Чао Сюй
джерело