Заплутаний теоремою Райса

Короткий зміст: За теоремою Райса все неможливо. І все-таки я роблю це, нібито, неможливо весь час!

Звичайно, теорема Райса не говорить просто "все неможливо". У ньому сказано щось досить конкретніше: "Кожна властивість комп'ютерної програми не обчислюється".

(Якщо ви хочете розділити волоски, кожне "нетривіальне" властивість. Тобто властивості, якими володіють усі програми або програми не мають тривіального обчислення. Але будь-яке інше властивість не обчислюється.)

Ось що говорить теорема, або, здається, говорить. І, мабуть, велика кількість дуже розумних людей ретельно перевірили правильність цієї теореми. Але це, здається, повністю не відповідає логіці! Є численні властивості програм, які тривіально обчислювати !! Наприклад:

• Скільки кроків виконує програма перед зупинкою? Вирішити, чи є це число кінцевим чи нескінченним, саме проблема зупинки, яка не обчислюється. Вирішити, чи більша ця чи менша, ніж деяка кінцева , тривіально! Просто запустіть програму до n кроків і подивіться, зупиняється вона чи ні. Легко!$n$$n$

• Аналогічним чином , робить використання програми більш-менш ніж одиниць пам'яті в своїх перших м кроків виконання? Тривіально обчислювані.$n$$m$

• Чи згадується текст програми змінної з назвою ? Тривіальний текстовий аналіз виявить відповідь.$k$

• Програма чи викликає команду ? Знову скануйте текст програми, шукаючи це ім'я команди.$\sigma$

Я можу побачити безліч властивостей, які також виглядають невичислими; наприклад, скільки доповнень виконує повна програма програми? Ну, це майже те саме, що запитати, скільки кроків виконує програма, що практично є проблемою зупинки. Але, схоже, є навантаження на човні програмних властивостей, які по-справжньому дуже просто обчислити. І все-таки теорема Райса наполягає на тому, що жодна з них не обчислюється.

Що я тут пропускаю?

Для цілей цієї дискусії "програма" - це фрагмент коду, який завжди приймає ціле число як вхідний код і запускається назавжди або повертає ціле число. Ми говоримо, що дві програми $f$ і є екстенсіонально рівними, якщо вони обчислюють одну і ту ж функцію, тобто для кожного числа n або обох$g$$n$ і g ( n ) працюють назавжди, або вони припиняють і виводять одне і те ж число.$f(n)$$g(n)$

Екстенсіональності властивість програм є властивість , що поважає екстенсіональності рівність, тобто, якщо е і г є екстенсіонально одно , то вони або обидва мають властивість P або обидва не мають його.$P$$f$$g$$P$

Ось деякі приклади , які не є -extensional властивостей:

1. Програма зупиняється протягом $n$ кроків. (Ми завжди можемо змінити програму на рівну, яка триває довше.)
2. Програма використовує менше клітинок пам’яті протягом першого $n$$m$ етапів виконання. (Ми завжди можемо змінити програму на рівну програму, щоб вона використовувала деяку пам'ять без поважних причин.)
3. Текст програми згадує змінну з назвою k . (Ми можемо перейменувати змінні.)
4. Програма чи викликає команду . Це може трохи залежати від того, що таке σ , але якщо це щось, що може бути змодельовано якимось чином, то ми можемо ухилитися від σ і все ж мати програму, яка дорівнює рівню вихідної.$\sigma$$\sigma$$\sigma$

Я впевнений, що ви помітили, що я перерахував саме ваші передбачувані зустрічні приклади до теореми Райса, яка говорить:

Теорема (Райс): обчислювальна розширена властивість програм або вмісту всіх програм, або жодної.

Є ще один спосіб пояснити це: ви повинні розрізняти програму та функцію, яку вона обчислює. Багато різних програм обчислюють одну і ту ж функцію (всі вони дорівнює рівню). Теорема Райса про властивості функцій, а не про властивості програм, які їх обчислюють.

Основні непорозуміння:

Кожна властивість комп'ютерної програми не обчислюється

$\emptyset \subset P \subset \mathsf{RE}$

$\qquad \displaystyle \{ \langle M \rangle \mid f_M \in P \}$

$P$ тут кілька прикладів.

Теорема Райса стосується семантичних властивостей (властивості функції, обчисленої програмою, наприклад, діапазон домена або значення). Те, про що ви посилаєтесь, - це синтаксичні властивості (властивості програми , такі як час виконання або кількість змінних).

Не так багато, здається, відомих синтаксичних властивостей; див. це питання .