Поглиблений аналіз модифікованого алгоритму Борівки

Алгоритм Борівки - один із стандартних алгоритмів для обчислення мінімального діапазону дерева для графа , при . $G = (V,E)$ $|V| = n, |E| = m$

Псевдокод:

MST T = empty tree
Begin with each vertex as a component
While number of components > 1
    For each component c
       let e = minimum edge out of component c
       if e is not in T
           add e to T  //merging the two components connected by e

Кожну ітерацію зовнішньої петлі ми називаємо круглою. У кожному раунді внутрішня петля розрізає кількість компонентів хоча б навпіл. Тому існує максимум раундів. У кожному раунді внутрішня петля дивиться на кожен край максимум двічі (один раз з кожного компонента). Тому час роботи не більше . $O(\log n)$ $O(m \log n)$

Тепер припустимо, що після кожного раунду ми видаляємо всі ребра, які з'єднують лише вершини в межах одного компонента, а також видаляємо дублікати країв між компонентами, щоб внутрішня петля дивилася лише на деяку кількість ребер m '<m, які є ребрами мінімальної ваги, які підключіть два раніше відключені компоненти.

Як ця оптимізація впливає на час роботи?

Якби ми якось знали, що в кожному раунді воно скоротить кількість ребер навпіл, то час роботи значно покращиться: . $T(m) = T(m /2) + O(m) = O(m)$

Однак, хоча оптимізація різко зменшить кількість обстежених ребер (лише один край на останньому раунді, і не більше # компонентів вибирають 2 загалом), не ясно, як / якщо ми можемо використовувати цей факт для посилення аналізу часу виконання.

algorithms algorithm-analysis spanning-trees

— Джо
джерело

У гіршому випадку (ланцюжок) ви видалите рівно один край на раунд, тому не можете використовувати цей факт для покращення меж для загального графіка. Ви можете розглянути, наприклад, лише повні графіки.

— Xodarap

@Xodarap, якщо - простий шлях (це те, що ви маєте на увазі ланцюгом?), То в першому раунді ви вибираєте принаймні половину ребер. Ці краї видаляються з наступних раундів.

G

$G$

— Джо

Зауважте, що ви можете використовувати одну з високооптимізованих структур пошуку об'єднання для вдосконалення цього алгоритму.

— Рафаель

$|E| \leq 3*|V|-6$ $|E| = O(|V|)$

Довідка:

Магістр дисертації, Клод Андерсон (на стор. 100 описано найгірший виклад алгоритму Борівки). [посилання]
"Два лінійних алгоритми часу для MST для другорядних закритих графіків класів". Archivum mathematicum 40 (3): 315–320, 2004. [посилання]

— rizwanhudda
джерело