Як я можу перевірити рішення проблеми мандрівного продавця в поліноміальний час?

Отже, проблема рішення TSP (Проблема продавця подорожей) не є повною .

Але я не розумію, як я можу переконатися, що дане рішення TSP насправді є оптимальним за багаточленного часу, враховуючи, що немає можливості знайти оптимальне рішення в поліноміальний час (це тому, що проблема не в P)?

Що-небудь, що може допомогти мені побачити, що перевірка насправді може бути виконана за полиномним часом?

Щоб бути більш точним, ми НЕ знаємо , якщо TSP в . Цілком можливо , що вона може бути вирішена за поліноміальний час, хоча , можливо, загальне переконання в тому , що P ≠ N P . Тепер пригадайте, що означає для проблеми N P- твердий та N P -комплектний, дивіться, наприклад, мою відповідь тут . Я вважаю , що ваш джерело плутанини виникає з визначення: N P -Жорсткий проблема не обов'язково в N P .$\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Як ви і на сторінці Вікіпедії Ви зв'язуєтеся стану, то проблема рішення є -повний: враховуючи витрати і ціле число х , вирішити , чи є тур дешевше , ніж х . Один із способів бачити проблему в N P полягає в тому, щоб побачити, що, даючи рішення, в поліноміальний час легко перевірити, чи рішення є дешевшим, ніж x . Як ви можете це зробити? Просто слідкуйте за поданою екскурсією, запишіть її загальну вартість і, нарешті, порівняйте загальну вартість до x .$\mathsf{NP}$$x$$x$$\mathsf{NP}$$x$$x$

The crux is that you have to consider the decision problem:

Travelling Salesman Problem (Decision Version). Given a weighted graph G and a target cost C, is there a Hamiltonian cycle in G whose weight is at most C?

For a 'yes' instance, the certificate is just some Hamiltonian cycle whose weight is at most C. If you could solve this problem efficiently, you could find the cost of a minimum tour by binary search, starting with the weight of the entire network as an upper bound.

You are probably thinking of the problem of determining whether a given solution to the TSP is the best solution. However, there is no known polynomial solution for this, which means that this problem is in NP-hard, but not necessarily NP-Complete.

The TSP Decision Problem is actually about determining whether the weight of any solution in a graph G is at most cost C (as explained better in Niel's answer), which is certainly verifiable in polynomial time.

You can show that it is optimal given an oracle that solves the decision problem (see other answers) in polynomial time by querying if there exists a shorter solution. If your goal is to construct an optimal solution given the oracle, proceed as follows. Find the minimum total weight via binary search (or if there are non-integer edge weights, find a total weight which differs from the minimum by less than the min difference between two edge weights). Call this value $M$. For each edge in the graph, remove the edge, and query the oracle to see if there is still a solution of at most $M$. If so, leave the edge out, and continue. If not, put the edge back in, and continue. When you've processed all the edges, you'll be left with a Hamiltonian cycle of minimum weight.