Комбінаційна інтерпретація лямбдального числення

10

За словами Пітера Селінджера , обчислення лямбди є алгебраїчним (PDF). На початку цієї статті він говорить:

Як відомо, комбінаторне тлумачення лямбда-числення є недосконалим, оскільки воно не задовольняє $ξ$ -правило: під інтерпретацією $M = N$ не означає $\lambda x.M = \lambda x.N$ (Barendregt, 1984).

Запитання:

Яка рівнозначність тут мається на увазі?
З огляду на таке визначення еквівалентності, що є протиприкладним наслідком?

terminology lambda-calculus combinatory-logic

— Саймон Сяйво
джерело

7

Еквівалентність - це просто еквівалентність в еквівалентній теорії, що обговорюється. У цьому випадку це теорія, викладена в Таблиці 1. Зауважте, що ця теорія не включає : це зробить теорію розширеною, і справа зрештою, що поважає інтенсивність , тоді як це зробить CL частково розширення. Я не впевнений, чому інша відповідь згадує . $\lambda$ $\eta$ $\xi$ $\lambda$ $\eta$

Зауважте, що в : $\lambda$

\begin{matrix} (1) & (M =_{β} N) ⟹ (λ x . M =_{β} λ x . N) \end{matrix}

$(M =_\beta N) \Longrightarrow (\lambda x.M =_\beta \lambda x.N) \tag{1}$

Це повинно бути інтуїтивно зрозуміло: якщо є -convertible до , коли він стоїть сам по собі, то він також -convertible до , коли це подтерм . $M$ $\beta$ $N$ $\beta$ $N$ $\lambda x.M$

-права, визначається як робить цей висновок безпосередньо можливим, коли він є частиною теорії. Його аналогом CL було б: $\xi$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{λ}) & (λ x . M) & = (λ x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda x.M) &\;= (\lambda x.N) \tag{$\xi_\lambda$} \end{align}$

λ

$\lambda$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{C L}) & (λ^{*} x . M) & = (λ^{*} x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda^* x.M) &\;= (\lambda^* x.N) \tag{$\xi_{CL}$} \end{align}$

Тепер справа в тому, що в CL не виконується наступне :

\begin{matrix} (2) & (M =_{w} N) ⟹ (λ^{*} x . M =_{w} λ^{*} x . N) \end{matrix}

$(M =_w N) \Longrightarrow (\lambda^* x.M =_w \lambda^*x.N) \tag{2}$

Іншими словами, якщо два терміни слабо рівні, то це не обов'язково справедливо для їх псевдо-абстрагованих версій.

Отже, якщо до теорії CL додати , тоді ми почнемо рівняти терміни, які мають різні нормальні форми. $\xi_{CL}$

Примітка. Тут позначає слабку рівність. Це означає, що може бути перетворено в (і навпаки) за допомогою ряду і скорочень (можливо, також , якщо це частина теорії). Як ви, мабуть, знаєте, - це аналог CL . $M =_w N$ $M$ $N$ $\mathsf{S}$ $\mathsf{K}$ $\mathsf{I}$ $=_w$ $=_\beta$

$\lambda^*$ - псевдоабстрактор, як визначено на сторінці 5 вашого документа. Він має таке властивість:

\begin{matrix} (3) & (λ^{*} x . M) N ⊳_{w} [N / x] M \end{matrix}

$(\lambda^*x.M)N \rhd_w [N/x]M \tag{3}$

Ця властивість дозволяє легко знайти аналог CL для будь-якого -term: просто змініть на і застосуйте переклади відповідно до визначення . $\lambda$ $\lambda$ $\lambda^*$ $\lambda^*$

Щоб було зрозуміло, "зустрічний приклад" у цій відповіді не є протилежним прикладом до (2). Тому що якщо ми маємо:

\begin{matrix} (4) & M = x \end{matrix}

$M = x \tag{4}$

\begin{matrix} (5) & N = (λ^{*} z . z) x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x \tag{5}$

Тоді дійсно позначає (застосувавши переклади сторінки 5, і той факт, що визначається як в кінці сторінки 4): $N$ $\mathsf{I}$ $\mathsf{SKK}$

\begin{matrix} (6) & N = (λ^{*} z . z) x = I x = S K K x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x = \mathsf{I}x = \mathsf{SKK}x \tag{6}$

Так , ми дійсно маємо , що . Однак, якщо це зустрічний приклад, ми повинні мати це . Але якщо ми перекладаємо, ми фактично отримуємо: $\mathsf{SKK}x \rhd_w \mathsf{K}x(\mathsf{K}x) \rhd_w x$ $M =_w N$ $(\lambda^* y. M) \not=_w (\lambda^* y. N)$

\begin{matrix} (7) & (λ^{*} y . M) = (λ^{*} y . x) = K x \end{matrix}

$(\lambda^* y. M) = (\lambda^* y. x) = \mathsf{K}x \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & (λ^{*} y . N) = (λ^{*} y . S K K x) = K (S K K x) \end{matrix}

$(\lambda^* y. N) = (\lambda^* y. \mathsf{SKK}x) = \mathsf{K}(\mathsf{SKK}x)\tag{8}$

І легко перевірити, що (7) і (8) все ще слабо рівні, для:

\begin{matrix} (9) & K (S K K x) ⊳_{w} K (K x (K x)) ⊳_{w} K x \end{matrix}

$\mathsf{K}(\mathsf{SKK}x) \rhd_w \mathsf{K}(\mathsf{K}x(\mathsf{K}x)) \rhd_w \mathsf{K}x \tag{9}$

Тепер правильним зустрічним прикладом до (2) буде:

M = K x y

$M = \mathsf{K}xy$

N = x

$N = x$

Так , ми , безумовно , є , що . Однак якщо уважно перекласти абстраговані версії, то ви побачите, що обидві є різними нормальними формами - і вони не можуть бути конвертованими згідно з теоремою Церкви-Россера. $\mathsf{K}xy \rhd_w x$ $M =_w N$

Спочатку перевіряємо : $M'$

\begin{aligned} M^{'} & = λ^{*} x . K x y \\ = S (λ^{*} x . K x) (λ^{*} x . y) \\ = S (λ^{*} x . K x) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (λ^{*} x . x)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (I)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (S K K)) (K y) \\ = S (S (K K) (S K K)) (K y) \end{aligned}

$\begin{align} M' &= \lambda^* x.\mathsf{K}xy \\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\lambda^* x.y)\\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\lambda^* x.x))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{I}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\mathsf{KK})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \end{align}$ Тут ви можете переконатися, що є нормальною формою. Тут ви можете перевірити, що , як і слід було очікувати, якщо поводиться як абстрактор для CL.

M^{'}

$M'$

(λ^{*} x . K x y) P ⊳_{w} P

$(\lambda^* x.Kxy)P \rhd_w P$

λ^{*}

$\lambda^*$

Тепер перевіряємо : $N'$

\begin{aligned} N^{'} & = λ^{*} x . x \\ = I \\ = S K K \end{aligned}

$\begin{align} N' &= \lambda^*x.x \\ &= \mathsf{I} \\ &= \mathsf{SKK} \end{align}$

Яка нормальна форма, відмінна від , тому за теоремою Церкви-Роззера. Відзначимо також , що , тобто і "дають однаковий вихід" для довільних входів . $M'$ $M' \not=_w N'$ $N'P \rhd_w P$ $M'$ $N'$ $P$

Зараз ми довели, що (2) не має місце в CL, і що теорія CL, що включає , тому прирівнюватиме терміни, які не є рівними. Але чому нас хвилює? $\xi$

Ну, по-перше, це робить комбінаційну інтерпретацію недосконалою: мабуть, не всі метатеоретичні властивості переносяться. $\lambda$

Крім того, і, можливо, що важливіше, хоча існують теорії розширень і CL, вони спочатку і зазвичай зберігаються в інтенсивному режимі. Інтенсивність - це приємна властивість, оскільки обчислення моделей та CL як процес, і з цієї точки зору дві різні програми (зокрема, терміни, що мають іншу нормальну форму), які завжди дають однакові результати (з рівними введеннями), не повинні рівнятися. поважає цей принцип у , і якщо ми хочемо зробити розширенням, ми можемо просто додати, наприклад, . Але введення $\lambda$ $\lambda$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ $\eta$ $\xi$ в CL більше не зробить це повністю інтенсивним (насправді, лише частково так). І це є причиною знаменитості , як зазначено в статті. $\xi$

— Рой О.
джерело

1

Я не можу коментувати якість, тому що я мало знаю тему, але це схоже на трохи роботи. Вдячний, спасибі!

— Рафаель

Дійсно, посада закінчилася довше, ніж я передбачав. Дякуємо за ваш коментар :)

— Рой О.

2

О, це. Трапляється . Регулярно .

— Рафаель

3

EDIT Ця відповідь невірна, як правильно вказав інший відповідач. Я використовував переклад у комбінаторну логіку від Asperti & Longo, який тонко відрізняється від того, який було зроблено у Селінгера.

Насправді це ілюструє вирішальний момент: "комбінаційне тлумачення" лямбдального числення - це не єдина річ! Різні автори роблять це трохи інакше.

Я залишаю свою відповідь тут для нащадків, але інша відповідь краща.

Еквівалентність у цьому контексті визначена таблицями 1 та 2 у статті Селінгера. Однак дещо інша аксіоматизація може зробити речі трохи більш зрозумілими.

Це насправді означає, що два терміни конвертовані в теорії . Ми можемо визначити "конвертованість" за наступними двома аксіомами: $\lambda$

$\beta$ . , якщо вільне для у $(\lambda x. M) N = [N/x]M$ $x$ $N$ $M$
$\eta$ . , якщо не вільне в $\lambda y. M y = M$ $y$ $M$

плюс, звичайно, звичайні правила аксіом і умовиводів, необхідні для створення конгруентності. З цього повинно бути очевидним, що будь-який зустрічний приклад буде покладатися на умову вільної змінної при порушенні правила . $=$ $\eta$

Я думаю, що це, мабуть, найпростіше:

M = x

$M = x$

N = (λ z . z) x

$N = (\lambda z. z) x$

Ви можете переконатись, що , але їх відповідні комбінаторні інтерпретації не рівні за правилами таблиці 2. $\lambda y. M = \lambda y. N$

— Псевдонім
джерело

Чого я не розумію у вашій відповіді: 1) чому згадувати , тоді як теорія в таблиці 1 не включає його і, очевидно, є інтенсивним? 2) Як поєднуються інтерпретації та не дорівнює? Виведення у моїй відповіді показує, що вони є. 3) Правило не розглядається, в той час як це винуватець у питанні.

η

$\eta$

λ y . M

$\lambda y.M$

λ y . N

$\lambda y. N$

ξ

$\xi$

— Рой О.