Складність наївного алгоритму пошуку найдовшого підрядка Фібоначчі

Давши два символи і , давайте визначимо - ту рядок Фібоначчі так: $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

F (k) = {\begin{cases} b & if k = 0 \\ a & if k = 1 \\ F (k - 1) ⋆ F (k - 2) & else \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

з позначає конкатенацію рядків. $\star$

Таким чином у нас буде:

$F(0) = \text{b}$
$F(1) = \text{a}$
$F(2) = F(1) \star F(0) = \text{ab}$
$F(3) = F(2) \star F(1) = \text{aba}$
$F(4) = F(3) \star F(2) = \text{abaab}$
...

Дана рядок , утворений символів, визначить Фібоначчі подстроки як будь-яка подстрока з $S$ $n$ , який також є рядок Фібоначчі для відповідного виборуі . $S$ $\text{a}$ $\text{b}$

Проблема

Враховуючи , ми хочемо знайти його найдовшу підрядок Фібоначчі. $S$

Тривіальний алгоритм

Припустімо, для кожного положення рядка , що починається там (достатньо перевірити, чи знаки -й та -th). Якщо це так, перевірте, чи можна його поширити на , потім тощо. Після цього почніть знову з положення . Повторюйте, поки не досягнете позиції . $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

Ми повинні принаймні раз поглянути на кожен символ, так що це . Існує лише дві петлі, тому ми можемо сказати, що це $\Omega(n)$ $O(n^2)$

$i$

Як я можу використовувати властивості Фібоначчі для пошуку більш чітких меж часу виконання цього алгоритму?

— wil93
джерело

$F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ $\ell$ $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ $\ell(4) = 3$

$N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ $F(n)$ $|F(n-1)|$

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$ .

$F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— Юваль Фільм
джерело