Чи не завершена ця класична гра-головоломка?

Існує класична гра-головоломка, дуже схожа на кросворд, за винятком переліку слів, а потім надається квадратний дошка що складається з одиниць квадратів, при цьому деякі квадрати затьмарені так само, як перехресне слово, і на деяких квадратах є буква, яка в них уже була записана. Мета полягає в тому, щоб записати кожне слово зі списку один раз і лише один раз у головоломці, де кожне слово записується або горизонтально (зліва направо) або вертикально (зверху вниз) у непозатемнені квадрати підряд, і коли ви пишете слово , два квадрати, що знаходяться з кінців слова, повинні бути або затьмарені, або поза дошкою. Також для літер, попередньо записаних у деякі квадрати, слова, які перекриваються цими квадратами, повинні поважати попередньо написані букви.$N \times N$

Тепер, якщо ми припускаємо алфавіт фіксованого розміру для слів, вирішуємо, чи можемо ми заповнити дошку дійсним рішенням, використовуючи точно кожне слово в списку один раз і лише один раз, якщо проблема не є повною, якщо бічна довжина дошки дорівнює не виправлено?

Вибачте за відповідь на стару публікацію.

Я думав про це, і я думаю, що проблема з фіксованим алфавітом також є NP-повною.

Я збираюся зменшити позитивний 1-в-3 SAT до цієї проблеми слова

Вчора у мене виникли проблеми з ідеями для вирішення проблеми. У мене виникли проблеми з тим, щоб зробити кожну змінну різною, поки я знову не переглянув питання, і я зрозумів, що ви дозволяєте мати квадрати з насадженими символами. Це значно спростило скорочення. Моя інша ідея полягала в тому, щоб мати слова різної довжини для кожної різної змінної.

ВІДМОВЛЕННЯ

Тепер я опишу гаджети, які ми будемо використовувати:

Змінні гаджети

Ми позначаємо кожну змінну різним числовим індексом, і для кожної змінної ми матимемо різне число. Вибираємо найбільший індекс і представляємо число у двійковому, називаємо цей двійковий ланцюг .$n$

Потім ми створюємо два різних вертикальних слова для кожної змінної. Усі слова матимуть довжину (Тільки якщо в списку слів ми допускаємо повторювані слова), де | n | - довжина двійкового ланцюга n .$3 + |n|$$|n|$$n$

Наприклад, нехай найбільшим індексом є число . Коли ми перетворюємо це число у двійкове, отримуємо ланцюжок 100 у двійковий, ця ланцюг має довжину три. Отже, у цьому прикладі кожне слово із змінною буде мати довжину 6 .$4$$100$$6$

$3$$2$$n$$3$

$4$$3$

$4$$1$

$320013$$420014$

$1$$|n|$

Нам доведеться копіювати ці слова багато разів, нам знадобиться одна копія кожного слова для кожного виникнення змінної в екземплярі SAT. Це створить дублікати у списку слів. Ми можемо позбутися дублікатів, додавши до двійкового ланцюга ще один бінарний ланцюг, який однозначно ідентифікує змінну. Цей новий ланцюг однозначно ідентифікує кожне виникнення змінної.

Для цього ми просто присвоюємо кожній точці змінної інший бінарний ланцюг і оранжуємо цей ланцюг в кінці бінарного подання змінної.

$n_i$$i$$n_i$$|n_i|$$|n_i|$

Це дозволить позбутися дублікатів всередині змінних слів.

$x_2$

$32010013$ $42010014$$32010103$ $42010104$$32010113$ $42010114$

Гаджет із пропозицією

$6$

$535354$$535453$$545353$

$4$$3$$5$

$m$$m$$|m|$$|m|$. Ми додаємо кожен двійковий ланцюг до слів-членів, які належать до пункту.

Тепер побачимо на дошці зображення гаджета з пропозицією:

$(x_2 \lor x_3 \lor x_4)$$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

$4$

Якщо ми не дозволимо дублікати всередині списку слів, нам доведеться змінити зображення.

$5b5b5b10$

$b201010b$$b201110b$$b21001b$

$b$

Дивіться приклад:

Гаджет змінної консистенції

Це гаджет, який забезпечує, що гравець може призначити однакове значення для всіх буквальних стовпців змінної.

У нас буде новий гаджет для кожної змінної

Ми створимо два нових слова для кожного гаджета.

$2 * k$$k$$x_2$$63$ $k$$64$ $k$

$x_2$

$6363$$6464$

Якщо ми хочемо уникати повторних слів, зауважте, що кожен гаджет консистенції належить до різної змінної. Таким чином, ми можемо додати двійковий ланцюг, який ідентифікує кожну змінну до двох слів, які ми створили для цього гаджета.

Тепер подивимось прикладну картинку цього гаджета:

$x_2$$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

$3$$4$$3$$4$. Ми можемо розмістити решту слова цього гагдета в іншому ряду

Якщо ми не дозволимо дублікати у списку слів, слова, що знаходяться на прикладі зображення, будуть такими:

Для рядків:

$6b6b010$$6b6b010$

Для стовпців:

$b201001b$$b201010b$

$b$

Дивіться приклад:

Додаток відкидає гаджет

Це гаджет, створений для розміщення невикористаних слів-застережень. Для цього нам залишається лише розмістити два ряди для кожного слова-клауза в порожній частині дошки. Ці рядки не з'єднані з жодним іншим рядком або стовпцем.

Цим ми закінчуємо скорочення, оскільки ми заявляли, що нам потрібно лише 6 символів.

Приклад

Якщо попереднє пояснення було заплутаним, ось приклад малюнка екземпляра позитивного 1 в 3 SAT, який зводився до цієї проблеми слова:

Якщо ми забороняємо повторити слова:

Скорочений примірник:

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

Я думаю, що наступне скорочення від направленого гамільтонівського шляху працює:

$G=(V,E)$$s,t\in V$

$V\cup \{*\}$$*$$V$

$v*v$$v\in V$$vu$$(u,v)\in E$

$|V|$

$|E|-(|V|-1)$

$s*s$$t*t$

Тепер, щоб заповнити сходи, в межах сходів можна поставити лише вершинні слова, а для того, щоб з'єднати дві вершини, між ними потрібно поставити реброве слово, що відповідає наявному краю у графі. Невикористані краї можна поставити у другій частині дошки. Другий напрямок - тривіальний.

Я думаю, що це працює (доказ правильності, який я замальовував, в кращому випадку махає руками, але все ж).