Чи встановлені класи складності з реальними числами?

Нещодавно студент попросив мене перевірити рівень твердості на них. Вони виконували скорочення за лініями:

Я знижую цю проблему $P'$ яка, як відомо, є NP-повною для моєї проблеми $P$ (з багаторазовим скороченням багато-один), так що$P$ є NP-важким.

Моя відповідь була в основному:

Оскільки $P$ має екземпляри зі значеннями від $\mathbb{R}$ , це тривіально не обчислюється Тюрінгом, так що ви можете пропустити зменшення.

Хоча формально це правда, я не вважаю, що цей підхід є проникливим: ми, безумовно, хотіли б мати змогу зафіксувати "властиву складність" проблеми, що реально оцінюється (або оптимізувати), ігноруючи обмеження, з якими ми стикаємося у реальній справі числа; розслідування цих питань - ще один день.

Звичайно, не завжди так просто, як сказати, "дискретна версія Subset Sum є NP-повною, тому безперервна версія" NP-hard "також". У цьому випадку зменшення легко, але відомі випадки, коли безперервна версія простіша, наприклад, лінійне проти цілочисельного програмування.

Мені прийшло в голову, що модель ОЗУ природно поширюється на реальні числа; нехай кожен реєстр зберігає реальне число і відповідно розширює основні операції. Уніфікована модель вартості все-таки має сенс - настільки ж, як і в дискретному випадку, все одно - в той час як логарифмічна - ні.

Отже, моє запитання зводиться до того: чи існують усталені уявлення про складність проблем, що мають цінність? Як вони ставляться до «стандартних» дискретних класів?

^{Пошуки Google дають певні результати, наприклад, це , але я не можу сказати, що встановлено та / або корисно, а що ні.}

Так. Існує.

Існує модель реальної RAM / BSS, згадана в іншій відповіді. У моделі є деякі проблеми, і AFAIK щодо цього не має великої дослідницької діяльності. Можливо, це не реальна модель обчислення .

Більш активне поняття реальної обчислюваності - це обчислювальна модель вищого типу. Основна ідея полягає в тому, що ви визначаєте складність для функцій вищого типу, а потім використовуєте функції вищого типу для представлення реальних чисел.

Дослідження складності функцій вищого типу сходить щонайменше до [1]. Для останньої перевірки роботи документи Akitoshi Kawamura про складність реальних операторів.

Класичним посиланням на складність реальних функцій є книга Кер-І Ко [2]. У шостому розділі найновіша книга Клауза Вайхрауха [3] також обговорює складність реального обчислення (але вона більше зосереджена на обчислюваності, ніж на складності).

• [1] Стівен Кук та Брюс Капрон, "Характеристика основних можливих функціоналів кінцевого типу", 1990.

• [2] Кер-І Ко, "Обчислювальна складність реальних функцій", 1991.

• [3] Клаус Вайхраух "Обчислювальний аналіз", 2000.

Описана вами модель відома як Blum-Shub-Smale (BSS) (також реальна модель RAM) і справді використовується для визначення класів складності.

Деякі цікаві проблеми в цій галузі є класи , N P R , і, звичайно , питання про те , P R = N P R . Під P R ми маємо на увазі, що проблема є поліноміально вирішальною, N P R - це проблема поліноміально перевіряється. Є твердість / Повнота питання про клас N P R . Прикладом повної задачі N P R є проблема Q P $P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$NP_R$$NP_R$$QPS$ , квадратичної багаточленної системи, де входом є реальні многочлени в змінні і р 1 , . . . , Р п ⊆ R [ х 1 , . . . , x n ] ступеня максимум 2, і кожен многочлен має щонайбільше 3 змінних. Питаннятеіснує спільне дійсне рішення R п , такещо р 1 ( ) , р 2 ( ) , . . . p n ( a ) = $m$$p_1, ..., p_n$ $\subseteq$ $R[x_1, ..., x_n]$$R^n$$p_1(a), p_2(a), ... p_n(a) = 0$. Це повна проблема $NP_R$

Але ще цікавіше, що там було проведено певну роботу щодо взаємозв'язку між , (Probalistically Checkable Proofs) над Reals, тобто класом P C P R , і тим, як це стосується алгебраїчних моделей обчислень. Модель BSS переходить на всі N P через реальні показники. Це є стандартним у літературі, і те, що ми знаємо сьогодні, - це те, що N P R має "прозорі довгі докази" та "прозорі короткі докази". Під "прозорими довгими доказами" мається на увазі наступне: N P R міститься в P C P R ( p o l $PCP$$PCP_R$$NP$$NP_R$$NP_R$ . Існує також розширення, яке говорить, що "Практично (приблизна) коротка версія" є правдивою. Чи можемо ми стабілізувати доказ і виявити несправності, перевіривши значно менше (реальних) компонентів, ніж n ? Це призводить до питань існування нулів для (системи) одновимірних многочленів, заданих прямою програмою. Також під "прозорими довгими доказами" ми маємо на увазі$PCP_R(poly, O(1))$$n$

1. "прозорий" - Тільки для читання,$O(1)$

2. long - суперполіноміальна кількість реальних компонентів.

Доказ прив’язаний до , і впевнений, що один із способів розгляду справжніх цінних проблем полягає в тому, як це може бути пов’язано з сукупністю підмножини - навіть алгоритми наближення справжніх оцінених проблем були б цікаві - як для оптимізації - лінійне програмування, яке ми знаємо в класі F P , але так , було б цікаво подивитися , як approximatability може вплинути на повноту / твердість для випадку N P R проблем. Крім того , ще одне питання буде одним з Н Р Р = з Про - Н Р Р ? $3SAT$$FP$$NP_R$$NP_R$ $=$ $co\text{-}NP_R$

Розмірковуючи про клас , існують також класи підрахунку, які дозволяють міркувати про поліноміальну арифметику. Тоді як # P - клас функцій f, визначений на { 0 , 1 } ∞ → N, для якого існує поліноміальна машина Тьюрінга M і поліном p зі властивістю ∀ n ∈ N , а x ∈ { 0 , 1 } n , f ( x $NP_R$$\#P$$f$$\{0,1\}^\infty$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$$M$$p$$\forall n$$\in$$\mathbb{N}$$x$$\in$$\{0,1\}^{n}$$f(x)$підраховує кількість рядків { 0 , 1 } p ( n ), які машина Тьюрінга M приймає { x , y } . Для реальної міри ми поширюємо цю ідею: є додаткові машини BSS - машини BSS, які роблять лише додавання, і множення (не ділення, віднімання). За допомогою аддитивних машин BSS (вузли в обчисленні дозволяють лише додавання та множення) модель для # P стає такою, в якій кількість перераховується над векторами, які приймає добавка BSS-машин. Отже, клас підрахунку - # P a d $y \in$$\{0,1\}^{p(n)}$$M$$\{x,y\}$$\# P$$\#P_{add}$ цей клас корисний для вивчення чисел Бетті, а також характеристики Ейлера.