Максимальний незалежний набір двоканального графіка

Я намагаюся знайти максимальний незалежний набір графіку Біпаріта.

У деяких записках "13 травня 1998 р. - Вашингтонський університет - CSE 521 - Застосування мережевого потоку" я виявив наступне :

Проблема:

З огляду на двочастковий граф , знайти незалежне безліч , який є якомога більше, де і . Набір незалежний, якщо між елементами множини немає ребра$G = (U,V,E)$$U' \cup V'$$U' \subseteq U$$V' \subseteq V$$E$

Рішення:

Побудуйте графік потоку на вершинах . Для кожного ребра існує край нескінченної ємності від до . Для кожного існує край одиничної ємності від до , а для кожного є край одиничної ємності від до .$U \cup V \cup \{s,t\}$$(u,v) \in E$$u$$v$$u \in U$$s$$u$$v \in V$$v$$t$

Знайти кінцеве скорочення потужності , з і . Нехай і . Набір незалежний, оскільки не існує нескінченних країв ємності, що перетинають зріз. Розмір зрізу дорівнює. Це, щоб зробити незалежний набір якомога більшим, робимо розріз якомога меншим.$(S,T)$$s \in S$$t \in T$$U' = U \cap S$$V' = V \cap T$$U' \cup V'$$|U - U'| + |V - V'| = |U| + |V| - |U' \cup V'|$

Тож давайте розглянемо це як графік:

A - B - C
    |
D - E - F

Ми можемо розділити це на двобічний графік так $(U,V)=(\{A,C,E\},\{B,D,F\})$

Ми можемо бачити пошук перебору , що єдиний максимум незалежного безліч . Давайте спробуємо опрацювати рішення вище:$A,C,D,F$

Отже, побудована матриця суміжності потокової мережі буде такою:

$$\begin{matrix} & s & t & A & B & C & D & E & F \\ s & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ A & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B & 0 & 1 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 \\ C & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ E & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty \\ F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ \end{matrix}$$

Ось, де я застряг, найменша обмежена кінцева ємність, яку я бачу, є тривіальною: місткістю 3.$(S,T) =(\{s\},\{t,A,B,C,D,E,F\})$

Використання цього розрізу призводить до неправильного вирішення:

$$U' = U \cap S = \{\}$$ $$V' = V \cap T = \{B,D,F\}$$ $$U' \cup V' = \{B,D,F\}$$

Тоді як ми очікували, що ? Чи може хтось помітити, де я помилився у своїх міркуваннях / роботі?$U' \cup V' = \{A,C,D,F\}$

Доповненням максимального незалежного набору є мінімальна вершинна кришка.

Щоб знайти мінімальну кришку вершин у двопартійному графіку, див . Теорему Кеніга .

Наведене рішення явно неправильне, як ви демонструєте з контрприкладом. Зауважимо, що графік U + V є з'єднаним компонентом по краях нескінченної ємності. Тому кожен дійсний зріз повинен містити всі A, B, C, D, E, F на одній стороні.

Намагаючись простежити, звідки прийшло рішення: http://www.cs.washington.edu/education/courses/cse521/01sp/flownotes.pdf цитує мережу "Потоки" від Ахуджі, Магнанті та Орліна для деяких проблем. Ця книга не захищена авторським правом і завантажується на веб-сайті http://archive.org/details/networkflows00ahuj, але, схоже, не містить цієї проблеми та рішення (пошук кожного виникнення "двостороннього").

Зауважимо, що в пункті пояснення рішення не видно, що найменший зріз графіка, який він сконструює, відповідає максимальному незалежному набору. Це тільки показує спосіб отримати в самостійний набір.

І все ж, ви можете бачити, що алгоритм намагається зробити. Ось чому відповідає фактичний максимальний незалежний набір з точки зору його s, t скорочення:

Підкреслено край нескінченної ємності, що порушує алгоритм.

Я не впевнений, як зафіксувати алгоритм до того, що було призначено. Можливо, вартість нескінченного краю повинна дорівнювати нулю, якщо вона йде назад (тобто там, де вона йде від S до T, але перетинає з t-стороні на s-сторону)? Але чи все ще легко знайти міні-скорочення / максимальний потік за допомогою цієї нелінійності? Крім того, обдумуючи спосіб переходу від рішення @Jukka Suomela до алгоритму з питання, виникає складність, коли ми переходимо від максимальної відповідності до мінімальної кришки вершини: хоча знайти максимальну відповідність можна за допомогою max-потоку як алгоритм, як ви відновите мінімальну кришку вершини з неї за допомогою потокового алгоритму? Як описано тутпісля виявлення максимальної відповідності ребра між U і V стають направленими, щоб знайти мінімальну кришку вершини. Отже, знову ж таки, це не свідчить про те, що для вирішення цієї проблеми потрібне просте застосування мінімальної скорочення / максимального потоку.

Даний алгоритм правильний. Мережевий потік , побудовані повинні бути спрямовані, а значення - вирізати розглядає тільки ребро , що виходить з безлічі вершин .$S$$T$$S$

Розріз повинен бути на фактичному потоці, а не на потужностях. Оскільки потік від s кінцевий, будь-який {S, T} розріз буде кінцевим. Решта - пояснено вище.

Я думаю, що вам не потрібно з'єднувати краї обома способами, навіть якщо початковий графік був непрямим. Оскільки для мережі потоку, вам потрібен орієнтований граф, ви могли б розглянути тільки ребра з в .$U$$V$

Тоді в цьому новому графіку ви матимете міні-розріз 2, що дає відповідь .$G'$$\{A,C,D,F\}$