Перетворення арифметичних виразів граматики

У статті Розбиття виразів за допомогою рекурсивного походження Теодора Норвелла (1999) автор починає з наступної граматики для арифметичних виразів:

E --> E "+" E | E "-" E | "-" E | E "*" E | E "/" E | E "^" E | "(" E ")" | v

що досить погано, тому що це неоднозначно і ліво-рекурсивно. Тож він починає з видалення лівої рекурсії від неї, і його результат такий:

E --> P {B P}
P --> v | "(" E ")" | U P
B --> "+" | "-" | "*" | "/" | "^"
U --> "-"

Але я не можу зрозуміти, як він дійшов до цього результату. Коли я намагаюся видалити ліву рекурсію самостійно, я роблю це наступним чином:

Ялиці, я групую постановки, які не залишили рекурсії в одній групі, а інші (ліво-рекурсивні) в іншій групі:
```
E --> E "+" E | E "-" E | E "*" E | E "/" E | E "^" E     // L-recursive
E --> v | "(" E ")" | "-" E
```
Далі я називаю їх і визначаю для легших маніпуляцій:
```
E --> E B E  // L-recursive; B stands for "Binary operator"
E --> P  // not L-recursive; P stands for "Primary Expression"
P --> v | "(" E ")" | U E   // U stands for "Unary operator"
B --> "+" | "-" | "*" | "/" | "^"
P --> "-"
```
Тепер мені потрібно розібратися лише з першими двома постановками, з якими зараз легше розібратися.
Я переписую ці перші дві постановки, починаючи з не-L-рекурсивного виробництва (що просто P, первинний вираз) і слідуючи за ним за необов'язковим хвостом T, який я визначаю як решту початкового виробництва за винятком першого ліво-рекурсивного нетерміналу (тобто просто B E), за яким йде Хвіст T, або який може бути порожнім:
```
E --> P T
T --> B E T |
```
(зверніть увагу на порожню альтернативу для хвоста).
Ці дві постановки я зараз можу переписати у EBNF так:
```
E --> P {B E}
```
це майже те, що отримує автор, але я маю Eзамість Pнуля або більше повторення (Хвіст). Інші постановки я отримую зовсім так само, як і у нього:
```
P --> v | "(" E ")" | U E
B -> "+" | "-" | "*" | "/" | "^"
U -> "-"
```
але тут я маю Eзамість того, щоб Pу першому виробництві для P.

Отже, моє запитання: Що я пропускаю? Яке алгебраїчне перетворення в синтаксисі мені потрібно продовжити зараз, щоб отримати таку ж точну форму, як отримує автор? Я спробував заміни E, але це веде мене лише до циклів. Я підозрюю , що мені потрібно як - то замінити Pна E, але я не знаю , який - або правової трансформації , щоб виправдати його. Можливо, ви знаєте, що останній пропущений крок?

— SasQ
джерело

Подумайте про використання LaTeX для форматування. Ознайомтесь тут із грунтовкою . (Дивіться тут для обговорення придатності LaTeX у цьому випадку.)

— Рафаель

Відсутній крок:

E --> P T
T --> B E T |

переписати E в T:

E --> P T
T --> B P T T |

Спростіть T:

E --> P T
T --> B P T |

Дорівнює:

E --> P T
T --> {B P}

І ось ти.

— кена
джерело

Дякую за гарну відповідь :-) Тепер я бачу, що я пропустив: я замінив це навпаки, і в цьому була проблема. Але все одно я не розумію жодної деталі: звідки ти знаєш, що ти можеш спокійно з’єднати Ts разом в один T? Чи є для цього якесь правило? (Я підозрюю, що це може бути якось схоже на правило в булевій алгебраїчній логіці, яке говорить "aa = a".)

— SasQ

До речі, чому цю посаду перенесли сюди з cstheory.sx і яка різниця? Я хотів би знати, щоб уникнути помилок у майбутньому.

— SasQ

@SasQ CSTheory призначений лише для питань рівня дослідницької роботи в теоретичній інформатиці, детальніше див. FAQ щодо CSTheory.

— Джухо

@SasQ:

T \to x T T ∣ ε

$T \to xTT \mid \varepsilon$ породжує

x^{*}

$x^*$ і так

T \to x T ∣ ε

$T \to xT \mid \varepsilon$ . Більш загальне,

L^{*} L^{*} = L^{*}

$L^*L^* = L^*$ для

L

$L$ будь-яку мову. Зауважте, що мати порожнє слово

ε

$\varepsilon$ оскільки права частина має вирішальне значення; це не стосується всіх граматичних фрагментів, як

L^{+} L^{+} \neq L^{+}

$L^+L^+ \neq L^+$ .

— Рафаель

@Raphael: Це щось пов’язане з правилом ідентифікації *? Я побачив у «Книзі драконів» (3.3, с.91) це x** = x*. Це те саме правило, яке ви використовували?

— SasQ