Покажіть, що {xy ∣ | x | = | y |, x ≠ y} без контексту

Я пам’ятаю, натрапив на наступне запитання про мову, яка нібито не є контекстною, але мені не вдалося знайти доказ цього факту. Чи, можливо, я неправильно запам'ятав це питання?

У всякому разі, ось питання:

Покажіть, що мова без контексту.$L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

Претензія : без контексту.$L$

Доказ ідеї : між першою та другою половиною має бути принаймні одна різниця; ми даємо граматику, яка гарантує генерування одного, а решту залишає довільною.

Доведення : Для простоти припустимо двійковий алфавіт . Доказ легко поширюється на інші розміри. Розглянемо граматику G :$\Sigma = \{a,b\}$$G$

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

Цілком зрозуміло, що це породжує

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

$k$$l$$(x,y)$$w_2$$v_1$$w_2$$v_1$$x$$y$$\mathcal{L}(G) = L$$G$ інших обмежень щодо своєї мови не встановлює.

Зацікавленому читачеві можуть сподобатися дві наступні проблеми:

$L$

$\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$