Алгоритм, який знаходить кількість простих шляхів від

Чи можна запропонувати мені алгоритм лінійного часу , який приймає в якості вхідних даних орієнтованого ациклического граф , і дві вершини і і повертає число простих шляхів від до в . У мене є алгоритм, в якому я буду запускати DFS (глибокий перший пошук), але якщо DFS знайде він не змінить колір (від білого до сірого) будь-якого з вузлів, що потрапляє в шлях так що якщо це підпуть будь-який інший шлях, то також DFS знову проходить цей підпуть. Для прикладу розглянемо список суміжності, де нам потрібно знайти кількість шляхів від p до v .$G=(V,E)$$s$$t$$s$$t$$G$
$t$$s \rightsquigarrow t$$p$$v$

$$\begin{array}{|c|c c c|} \hline p &o &s &z \\ \hline o &r &s &v\\ \hline s &r \\ \hline r &y \\ \hline y &v \\ \hline v &w \\ \hline z & \\ \hline w &z \\ \hline \end{array}$$ Тут DFS почнеться з $p$ а потім скаже, що він переходить до $p \rightsquigarrow z$ оскільки він не зустрічається $v$ DFS буде працювати нормально. Тепер секунда шлях є $psryv$ оскільки він зустрічається $v$ ми не будемо змінювати колір вершин $s,r,y,v$ на сірий. Потім шлях $pov$ оскільки колір $v$ все ще є білим. Потім шлях posryv,$posryv$ оскільки колір $s$ білий і аналогічно шлях $poryv$.Также підтримується лічильник, який збільшується, коли виникає $v$ .

Чи правильний мій алгоритм? якщо ні, то які модифікації потрібні для виправлення чи будь-які інші підходи, будуть дуже вдячні.

Примітка . Тут я розглянув алгоритм DFS, який наведений у книзі "Введення в алгоритми Кормен", в якій він забарвлює вузли відповідно до їх стану. Отже, якщо вузол невідомий, не досліджений і досліджений, то колір буде білим, сірий і чорний відповідно. Всі інші речі є стандартними.

Ваша поточна реалізація обчислить правильну кількість шляхів у DAG. Однак, не маркуючи шляхи, це займе експоненціальний час. Наприклад, на ілюстрації нижче, кожен етап DAG збільшує загальну кількість шляхів у кратне 3. Це експоненціальне зростання можна впоратися з динамічним програмуванням.

Обчислення кількості - шляхів у DAG задається повторенням, $s$$t$

$$\text{Paths}(u) = \begin{cases} 1 & \text{if } u = t \\ \sum_{(u,v) \in E} \text{Paths}(v) & \text{otherwise.}\\ \end{cases}$$

Проста модифікація DFS обчислить це, задане як

def dfs(u, t):
    if u == t:
        return 1
    else:
        if not u.npaths:
            # assume sum returns 0 if u has no children
            u.npaths = sum(dfs(c, t) for c in u.children)
        return u.npaths

Не важко помітити, що кожен край дивиться лише один раз, звідси час виконання .$O(V + E)$

Потрібно лише зауважити, що кількість шляхів від одного вузла до цільового вузла є сумою кількості шляхів від його дітей до цілі. Ви знаєте, що цей алгоритм завжди зупинятиметься, оскільки ваш графік не має циклів.

Тепер, якщо ви зберігаєте кількість шляхів від одного вузла до цілі під час відвідування вузлів, часова складність стає лінійною в кількості вершин і лінійною пам’яттю в кількості вузлів.

Кількість шляхів між будь-якими двома вершинами в DAG можна знайти, використовуючи матричне подання суміжності.

Припустимо, A - матриця примикання G. Прийнявши Kth потужність A після додавання до нього матриці ідентичності, дає кількість шляхів довжиною <= K.

Оскільки максимальна довжина будь-якого простого шляху в DAG дорівнює | V | -1, обчислення | V | -1-ї потужності дасть кількість шляхів між усіма парами вершин.

Обчислення | V | -1-ї потужності можна зробити, зробивши log (| V | -1) муліплікації кожного з TC: | V | ^ 2.