Заокруглення з плаваючою комою

Чи може число IEEE-754 з плаваючою точкою <1 (тобто генерується генератором випадкових чисел, що генерує число> = 0,0 та <1,0), коли-небудь можна помножити на деяке ціле число (у формі з плаваючою комою), щоб отримати число, рівне або більше, ніж це ціле число через округлення?

тобто

double r = random() ; // generates a floating point number in [0, 1)
double n = some_int ;
if (n * r >= n) {
    print 'Rounding Happened' ;
}

Це може бути еквівалентно тому, що існують такі N і R, що якщо R є найбільшим числом, меншим від 1, яке може бути представлено в IEEE-754, то N * R> = N (де * і> = є відповідними IEEE- 754 операторів)

Це випливає з цього питання на основі цієї документації та випадкової функції postgresql

numerical-analysis floating-point rounding

— Кейд Ру
джерело

Чи можете ви сказати що-небудь про діапазон N, тобто він достатньо малий, щоб бути точно представленим у подвійній точності IEEE-754?

— Педро

@ Педро У цьому конкретному випадку так, це було б невелике ціле число - тобто 10. Я припускаю, що ви говорите, що якщо N дуже велике ціле число з дуже великою кількістю значущих цифр, воно може бути неможливо точно представити?

— Кейд Ру

Саме, якщо

, то

може бути більше , ніж

f l (N) > N

$fl(N) > N$

f l (R \times f l (N))

$fl(R\times fl(N))$

R N

$RN$

— Педро

Якщо припустити, що округлює до найближчого і що , то завжди. (Будьте обережні, щоб не конвертувати занадто велике ціле число.) $N > 0$ $N * R < N$

Нехай , де - значення, а - ціле число. Нехай і виводимо пов'язане $c 2^{-q} = N$ $c \in [1, 2)$ $q$ $1 - 2^{-s} = R$

N R = c 2^{- q} (1 - 2^{- s}) \leq c 2^{- q} - 2^{- q - s},

$N R = c 2^{-q}(1 - 2^{-s}) \le c 2^{-q} - 2^{-q - s},$

з рівністю тоді і тільки тоді, коли . Права частина менша за і, оскільки рівно одиниць на останньому місці , або і є точно представним (оскільки є нормальним і не найменший нормальний), або , і найближче округлення вниз. В обох випадках менше $c = 1$ $N$ $2^{-q - s}$ $0.5$ $N$ $c = 1$ $2^{-q} - 2^{-q - s}$ $N$ $c > 1$ $N * R$ $N$ .

Заокруглення вгору може спричинити проблеми, не те, що його слід коли-небудь вибирати у присутності користувачів, що не підозрюють. Ось якийсь C99, який друкує "0\n1\n"на моїй машині.

#include <fenv.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    double n = 10;
    double r = nextafter(1, 0);
    printf("%d\n", n == (n * r));
    fesetround(FE_UPWARD);
    printf("%d\n", n == (n * r));
}

— Тірон
джерело

Вибачте, я трохи повільно в ці дні - у мене виникають проблеми з отриманням частини нерівності

- c 2^{- q} 2^{- s} \leq - 2^{- q s}

$- c 2^{-q} 2^{-s} \le - 2^{-q s}$

— Cade Roux

2^{- q - s}

$2^{-q - s}$

Дякую, я не був впевнений, чи є ще один крок, який я пропустив.

— Кейд Ру