Підрахунок пар інверсії

Класичним застосуванням ділення та перемоги є вирішення наступної проблеми:

З огляду на масив з окремих елементів, які можна порівняти, підрахувати число пар інверсії в масиві: пари таким чином, що , і . $a[1\dots n]$ $(i,j)$ $a[i] \gt a[j]$ $i \lt j$

Один із підходів до цього - зробити сортування об'єднань, але також підрахунок кількості пар інверсії в підзадачі. Під час кроку злиття ми підраховуємо кількість пар інверсії, які охоплюють (дві) підпроблеми, і додаємо до числа підзадач.

Хоча це добре і дає алгоритм часу , це заплутує масив. $O(n\log n)$

Якщо у нас є додаткове обмеження, що масив є лише для читання, то ми можемо зробити копію та обробити копію, або використати додаткову структуру даних, на зразок статистики замовлень, збалансованого двійкового дерева, щоб зробити підрахунок, обидва з яких використовують простір. $\Theta(n)$

Поточне питання - спробувати покращити простір, не впливаючи на час виконання. тобто

Чи існує алгоритм часу для підрахунку кількості пар інверсії, який працює на масиві, доступному лише для читання, і використовує підлінійний (тобто ) простір? $O(n\log n)$ $o(n)$

Припустимо модель RAM з рівномірною вартістю, і що елементи займають простір а порівняння між ними - . $O(1)$ $O(1)$

Довідка буде робити, але пояснення буде краще :-)

Я спробував шукати в Інтернеті, але не зміг знайти на це жодної позитивної / негативної відповіді. Я думаю, це просто цікавість.

algorithms reference-request arrays

— Ар'ябхата
джерело

Чан і Пєтрашку дають алгоритм часу

, але, наскільки я можу сказати, прокинувши папір, їм потрібно простір

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Рафаель

Крім того, Ajtai та ін. доведіть, що будь-який (точний)

алгоритм потокової передачі часу потребує простору

. Здається, є наближення, що відповідають вашим критеріям.

O (n)

$O(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Рафаель

@Raphael: Дякую! Якщо відповіді не буде, то ваш коментар буде найкращою відповіддю поки що.

— Ар'ябхата

До речі, я трохи розгублений щодо нижньої межі Ajtai та ін. Теорема 8 говорить "будь-який алгоритм", але нижня межа, як мені здається, суперечить однопрохідним точним алгоритмам потокової передачі, дуже обмежена модель

— Сашо Ніколов

@SashoNikolov: Я думаю, що вони глобально налаштували свою модель на потокові алгоритми, тому "будь-яка" буде обмежена лише тими. Я сподіваюся, що мій наслідок - будь-який точний алгоритм часу

- є правильним, тобто будь-який алгоритм лінійного часу може бути виражений як алгоритм потокового потоку з постійно численними пропусками. Ми побачимо .

O (n)

$O(n)$

— Рафаель

Ось відповідь Рафаеля:

$o(n\log n)$ $\Omega(n)$ $O(n)$ $\Omega(n)$

— Юваль фільм
джерело

Дякуємо, що зробили це відповіддю. Я дам йому ще трохи часу. Здається, трафік збирається.

— Ар'ябхата