Рівномірна вибірка з симплексу

29

Я шукаю алгоритм для створення масиву з N випадкових чисел, таким чином, що сума N чисел дорівнює 1, а всі числа лежать в межах 0 і 1. Наприклад, N = 3, випадкова точка (x, y, z) повинен лежати в межах трикутника:

x + y + z = 1
0 < x < 1
0 < y < 1
0 < z < 1

В ідеалі я хочу, щоб кожна точка в межах області мала однакову ймовірність. Якщо це занадто важко, я можу відмовитись від вимоги. Спасибі.

— Руофенг
джерело

Що таке цільовий розподіл? Що ви пробували?

— Рафаель

3

Зауважте, що завжди є вибірки відхилення : виберіть

однакових чисел і відхиліть, якщо числа не дорівнюють

. Тут очікувана кількість ітерацій незручно висока, тому вам слід зробити щось інше.

n

$n$

1

$1$

— Рафаель

28

Спершу припустимо, що ви хочете зробити вибірку всередині

x + y + z = 1
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1

Це не має великої різниці, оскільки точка вибірки все ще буде лежати у запитуваній області з великою ймовірністю.

Тепер вам залишається вибір вибір точки від симплексу . У 3d прикладі ви отримуєте 2d симплекс (трикутник), реалізований у 3d.

Як рівномірно підібрати крапку, було обговорено в цьому дописі (див. Коментарі).

Для вашої проблеми це означатиме, що ви берете випадкових чисел з інтервалу , потім додаєте і щоб отримати список чисел. Ви сортуєте список, а потім записуєте відмінності між двома послідовними елементами. Це дає вам список $n-1$ $(0,1)$ $0$ $1$ $n+1$ $n$ номерів, який становитиме . Крім того, ця вибірка є рівномірною. Цю ідею можна знайти у Дональда Б. Рубіна, байесівської завантажувальної Енн. Статист. 9, 1981, 130-134. $1$

Наприклад ( ) у вас є три випадкових числа,тоді ви отримуєте відсортовану послідовність,і це дає відмінності, і будуючи ці чотири числа дорівнюють 1. $n=4$ 0.4 0.2 0.10 0.1 0.2 0.4 10.1 0.1 0.2 0.6

Інший підхід полягає в наступному: спочатку зразок з гіперкуба (тобто ви забули про нього x+y+z=1), а потім нормалізуйте точку зразка. Нормалізація - це проекція від -гіперкуби до -прости. Слід зрозуміти, що точки в центрі симплекса мають більше "точок попереднього зображення", ніж зовні $d$ $d-1$ . Отже, якщо ви маєте рівномірну пробу з гіперкуба, це не дає вам рівномірного відбору проб у симплексі. Однак якщо взяти зразок з гіперкуба з відповідним експоненціальним розподілом, цей ефект скасовується. Малюнок дає вам уявлення про те, як обидва способи будуть проводити вибірку. Однак я віддаю перевагу методу «сортування» через його просту форму. Це також простіше здійснити.

Приклад 2-х методів вибірки

— А.Шульц
джерело

Я здогадуюсь, що наївна ідея - намалювати

чисел із

і нормалізувати - то несправна, значить.

n

$n$

(0, 1)

$(0,1)$

— Рафаель

Я звернувся з вашим питанням у розширеній відповіді.

— А.Шульц

1

Чи є простий доказ, який показує, що сортування дає рівномірний розподіл? У мене є лише елементарний фон, ймовірно, тому папір над головою.

— Чао Сю

5

@ChaoXu просто зауважте, що між

числами в симплексі та розділами інтервалу

на

підінтервалів існує відповідність 1 на 1 . алгоритм вибірки відповідає "закидання"

випадкових "інтервальних кінцевих точок" на

. ви можете спробувати переконатися, що це рівномірно, скажімо, за допомогою індукції та використання умовної ймовірності.

n

$n$

(0, 1)

$(0, 1)$

n

$n$

n - 1

$n-1$

(0, 1)

$(0, 1)$

— Сашо Ніколов

1

@Orient: Будь ласка, задавайте вам питання в окремому дописі і не зловживайте коментарями до цього.

— А.Шульц

8

Це потрібно додати до існуючих відповідей.

Devroye - це відмінна довідка для запитань подібного роду. У главі 7 наведені алгоритми, необхідні для формування єдиної статистики замовлень, яка є ОП.

Для генерації єдиної статистики замовлень буде сортувати вибірок . Цей підхід потребує часу . Більш швидкий спосіб (доступний у книзі) включає вибірку випадкових чисел з pdf. (Це проміжки формату pdf). Потім поверніть значення $n$ $[0,1]$ $O(n \log n)$ $n$ $x_1,\ldots,x_n$ $\mathrm{Exp}(1)$

(у_{i})_{1 \leq i \leq н} = \frac{\sum_{1 \dots i} х_{j}}{\sum_{1 \dots н} х_{j}}

$(y_i)_{1\leq i\leq n} = \frac{\sum \limits_{1\ldots i} x_j}{\sum \limits_{1\ldots n} x_j}$

O (n)

$O(n)$

$[0,1]$ $2x+3y+z = 5$

— ПКГ
джерело

Якщо я дотримуюся відповіді тут: stackoverflow.com/questions/2106503/… Тоді генерування випадкового числа з експоненціального розподілу передбачає оцінку логарифму, який може бути трохи повільним.

— R zu

3

X[0] = 0
for i = 1 to N-1
    X[i] = uniform(0,1)
X[n] = 1
sort X[0..N]
for i = 1 to N
    Z[i] = X[i] - X[i-1]
return Z[1..N]

Тут uniform(0,1)повертається дійсне число незалежно та рівномірно розподіляється між 0 і 1.

— JeffE
джерело

5

Це відповідь А. Шульца в коді без пояснень, правда?

— Рафаель

1

Дивіться цей документ : Smith, N. and Tromble, R., Відбір проб рівномірно з одиничного симплексу .

— Алек
джерело

2

Будь ласка, відформатуйте свою відповідь читабельним способом: ви пишете для людей, а не для компілятора bibtex. Крім того, якщо папір доступна в Інтернеті, вам набагато ефективніше надати посилання.

— Девід Річербі