З огляду на п рядків, чи є одна з них підрядком іншої?

Припустимо, нам колекцію з рядків, . Я хотів би знати, чи будь-який з цих рядків є підрядком будь-якого іншого рядка в колекції. Іншими словами, я хотів би створити алгоритм для наступного завдання: $n$ $S_1,\dots,S_n$

Введення: $S_1,\dots,S_n$

Вихід: такий, що є підрядком і , або None, якщо таких існує $i,j$ $S_i$ $S_j$ $i\ne j$ $i,j$

Чи існує ефективний алгоритм для цього?

Якщо замінити "підрядку" на "префікс", існує ефективний алгоритм (сортуйте рядки, потім зробіть лінійне сканування для порівняння сусідніх рядків; сортування забезпечить, щоб підрядки були суміжними). Але здається, складніше перевірити, чи будь-яка рядок є підрядком будь-якої іншої рядки. Наївний алгоритм полягає в перегляді всіх пар , але для цього потрібні тести підрядкових тестів . Чи є більш ефективний алгоритм? $i,j$ $\Theta(n^2)$

Я думаю, що ми могли б назвати це "тестування підрядків на всі пари", або щось подібне.

Моя кінцева мета - обрізати колекцію, щоб жодна рядок не була підрядком будь-якої іншої, видаляючи кожну, яка є підрядкою чогось іншого в колекції.

— DW
джерело

Підказка: Суфіксний масив.

— Псевдонім

Як бічна примітка, є невірним, якщо ви видаляєте підрядки під час їх знаходження. Це буде менше. Крім того, слід сортувати за довжиною, оскільки довший рядок не може відображатися у коротшій строці. Знову тут помиляється.

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Алексіс Вілке

@AlexisWilke, правильна: це кількість тестів підрядків у гіршому випадку (найгірший випадок, коли жодна рядок не є підрядкою жодної іншої). Сортування за довжиною дає лише два коефіцієнти, що не впливає на асимптотику.

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— DW

Ви можете побудувати дерево суфіксів за лінійним часом і перевірити, чи є внутрішній вузол, який відповідає повному рядку (постійний час на вузол).

Більш детально, припустимо, нам даються рядки . $s_1, \dots, s_n \in \Sigma^*$

Побудувати (узагальнений) суфікс дерево з з попарно різних кінцевих маркерів . $s_1\$_1, s_2\$_2, \dots, s_n\$_n$ $n$ $\$_1,\dots,\$_n \notin \Sigma$

Використовуючи алгоритм Укконена , це можна зробити в лінійний час; лінійна в сумі всіх довжин рядків.
Якщо припустити, що ви позначите листя на якщо вони представляють суфікс з , дерево та знайдіть ті листків із позначкою , тобто листя, які відповідають повним струни. $(i,j)$ $s_i[j..|s_i|]$ $s_i$ $n$ $(i,0)$

Для цього потрібен лінійний час у розмірі дерева, який сам по собі є лінійним у розмірі введення.
Листки нащадків батьківського зразка (до якого доходить край, позначений ), представляють усі збіги з набору; це випливає з основного інваріанта суфіксних дерев. Знайдіть будь-яку відповідність, опустившись до будь-якого аркуша (але ). $(i,0)$ $\$_i$ $(i,0)$

Це знову потребує лінійного часу.

Виразні кінцеві маркери насправді не потрібні; одного, який використовується для завершення всіх рядків, цілком достатньо, якщо ви дозволяєте кілька міток на аркуш.

— Рафаель
джерело