Давши набір множин, знайдіть найменший набір (и), що містить щонайменше один елемент з кожного набору

З огляду на безліч множин, я хотів би знайти безліч M таке , що кожне безліч S в S містить , щонайменше , один елемент з М . Я також хотів би, щоб M містив якомога менше елементів, але все-таки відповідав цьому критерію, хоча може існувати більше одного найменшого М з цією властивістю (рішення не обов'язково унікальне).$\mathbf{S}$$M$$S$$\mathbf{S}$$M$$M$$M$

Як конкретний приклад, припустимо, що множина - це набір національних прапорів, а для кожного прапора S у S елементами є кольори, які використовуються у прапорі цієї нації. У Сполучених Штатах було б S = { r e d , w h i t e , b l u e }, а в Марокко S = { r e d , g r e e n } . Тоді $\mathbf{S}$$S$$\mathbf{S}$$S = \{red, white, blue\}$$S = \{red, green\}$$M$буде являти собою набір квітів з тим властивістю , що кожен національний прапор використовує принаймні один з кольорів в . ( Олімпійські кольори синій, чорний, червоний, зелений, жовтий і білий - приклад такого М , або, принаймні, були у 1920 році.)$M$$M$

Чи існує загальна назва цієї проблеми? Чи існує прийнятий «найкращий» алгоритм пошуку множини ? (Мене більше цікавить саме рішення, ніж оптимізація процесу для складності обчислень.)$M$

Проблема - відома NP-повна проблема Hitting Set . Вона тісно пов'язана із Set-Cover . Доказ NP-повноти можна знайти в класичній книзі Гарі та Джонсона .

Якщо ви хочете наблизити його, ви можете спершу перекласти свій примірник у Set-Cover, а потім застосувати алгоритм наближення для Set-Cover. Однак Set-Cover не може бути апроксимований постійним коефіцієнтом у поліноміальний час, якщо тільки P = NP, як показали Лунд та Яннакакіс .

Якщо ви зацікавлені в точних рішеннях, і ваші входи ведуть себе добре, я рекомендую використовувати фіксований параметр . Час виконання тут виражається не тільки у вигляді вхідної довжини $n$ але й у вигляді додаткового параметра $k$ . Якщо час роботи $O(f(k)\cdot n^{O(1)})$ , ми називаємо алгоритм FPT-алгоритмом. Тут $f(k)$ - зростаюча функція. Отже, якщо $k$ є постійним, у нас є багаточастотний алгоритм. Перша глава зкнига Flum та Grohe , пояснює FPT-алгоритм для набору наборів (точніше для набору $p$ карт). Алгоритм легко реалізувати і використовує метод обмежених дерев пошуку. Однак тут потрібно багато місця для пояснення, в основному ви розбиваєте необхідний (?) Брутальний пошук на невеликі шматочки (коли $k$ невеликий).

Ідея, яка могла б допомогти: якщо перетин усіх множин у не порожній, то ви можете вибрати будь-який елемент s у перетині та встановити M = { s } . Якщо перетин порожній, знайдіть елемент (колір) c, кількість яких у множинах є максимальним, і замініть всі множини, в яких воно відбувається, синглтон { c } . Продовжуйте робити це, поки кількість присутніх кожного елемента не дорівнює 1, а потім встановіть M на об'єднання решти множин. Наприклад, якщо S - множина потужності деякої множини A, то M = $\mathbf S$$s$$M = \{s\}$$c$$\{c\}$$1$$M$$\mathbf S$$A$$M = A$. Я, можливо, помиляюся.

Погляньте на "Теорію діагностики з перших принципів" Рей Рейтера, де він дає алгоритм обчислення наборів ударів, і цю додаткову примітку "Корекція ..." .

Алгоритм, як правило, відомий як алгоритм "попадання набір дерев набору", знайти його не слід занадто важко. Ви згадали, що не надто цікавились часом виконання, але такі оптимізації, як раннє припинення відділення тощо, дуже важливі для впровадження, а також цікаві :)

Практично кажучи, один з кращих способів (безумовно, один із найпростіших) вирішити екземпляри Set Cover / Hitting Set - це змішане ціле програмування. Це включає в себе спілкування з формулюванням цілочисельного програмування для решателя вашого вибору.