Оновлення діапазону + запит діапазону з бінарними індексованими деревами

Я намагаюся зрозуміти, як бінарні індексовані дерева (fenwick дерева) можуть бути модифіковані для обробки запитів діапазону та оновлень діапазону.

Я знайшов такі джерела:

http://kartikkukreja.wordpress.com/2013/12/02/range-updates-with-bit-fenwick-tree/ http://programmingcontests.quora.com/Tutorial-Range-Updates-in-Fenwick-Tree http : //apps.topcoder.com/forums/? module = Thread & threadID = 756271 & start = 0 & mc = 4 # 1579597

Але навіть прочитавши їх усі, я не міг зрозуміти, яка мета другого бінарного індексованого дерева чи що воно робить.

Чи не може хтось пояснити мені, як модифіковане двійкове дерево з індексованим виправленням?

Припустимо, у вас був порожній масив:

0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  (array)
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  (cumulative sums)

І ви хочете оновити діапазон від +5 до [3..7]:

0  0  0  5  5  5  5  5  0  0  (array)
0  0  0  5 10 15 20 25 25 25  (desired cumulative sums)

Як ви могли зберігати бажані сукупні суми за допомогою двох двійкових індексованих дерев?

Хитрість полягає у використанні двох бінарних індексованих дерев, BIT1 та BIT2, де сукупна сума обчислюється з їх вмісту. У цьому прикладі, ось що ми зберегли б у двох деревах:

0   0   0   5   5   5   5   5   0   0  (BIT1)
0   0   0  10  10  10  10  10 -25 -25  (BIT2)

Щоб знайти sum[i], ви обчислите це:

sum[i] = BIT1[i] * i - BIT2[i]

Наприклад:

sum[2] = 0*2 - 0 = 0
sum[3] = 5*3 - 10 = 5
sum[4] = 5*4 - 10 = 10
...
sum[7] = 5*7 - 10 = 25
sum[8] = 0*8 - (-25) = 25
sum[9] = 0*9 - (-25) = 25

Для досягнення бажаних значень BIT1 та BIT2 для попереднього оновлення діапазону ми робимо 3 оновлення діапазону:

• Нам потрібно зробити оновлення діапазону від +5 до індексів 3..7 для BIT1.

• Нам потрібно здійснити оновлення діапазону від +10 до індексів 3..7 для BIT2.

• Нам потрібно зробити оновлення діапазону від -25 до індексів 8..9 для BIT2.

Тепер давайте зробимо ще одну трансформацію. Замість того, щоб зберігати наведені вище значення для BIT1 і BIT2, ми фактично зберігаємо їх сукупні суми. Це дозволяє нам оновлювати 3 діапазони вище, вносячи 4 оновлення сукупних сум:

BIT1sum[3] += 5
BIT1sum[8] -= 5
BIT2sum[3] += 10
BIT2sum[8] -= 35

Загалом алгоритм додавання значення v до діапазону [i..j] був би:

BIT1sum[i]   += v
BIT1sum[j+1] -= v
BIT2sum[i]   += v * (i-1)
BIT2sum[j+1] -= v * j

де синтаксис + = і - = означає просто оновити структуру даних сукупної суми BIT з позитивним або негативним значенням при цьому індексі. Зауважте, що коли ви оновлюєте сукупну суму BIT в індексі, це неявно впливає на всі індекси праворуч від цього індексу. Наприклад:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (original)

BITsum[3] += 5

0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 (after updating [3])

BITsum[8] -= 5

0 0 0 5 5 5 5 5 0 0 (after updating [8])

Дерева Fenwick зберігають суми у бінарному дереві. Провести оновлення, показані вище на дереві Fenwick, легко в$O(\log n)$ час.