Чи існує ефективний алгоритм еквівалентності виразів?

наприклад, $xy+x+y=x+y(x+1)$ ?

Вирази походять із звичайної алгебри середньої школи, але обмежуються арифметичним складанням і множенням (наприклад, ), без обертів, віднімання чи ділення. Букви є змінними.$2+2=4; 2.3=6$

Якщо це допомагає, ми можемо заборонити будь-який вираз, представлений із числовими значеннями, відмінними від ; тобто не ані ані :x 2 3 x $1$$x^2$$3x$$4$

• багатолінійні , ніякі повноваження, окрім : в порядку, але не , і не все, що могло бути представлене як таке, як у повне розширення на суму продуктів, наприклад, не ; x + x y ≡ x 1 + x 1 y 1 x 2 + x 3 y 4 x ( x + y ) ≡ x 2 + $1$$x+xy \equiv x^1+x^1y^1$$x^2+x^3y^4$$x(x+y) \equiv x^2+y$
• все одне , ніяких коефіцієнтів, окрім : є нормальним, але не , і не що-небудь, що могло б бути представлене таким чином, як у повному розширенні на суму- продукти, наприклад, не ; і x + x y ≡ 1. x + 1. x y 2 x + 3 x y a ( x + y ) + x ( a + b ) ≡ 2 a x + a y + b $1$$x+xy \equiv 1.x+1.xy$$2x+3xy$$a(x+y)+x(a+b) \equiv 2ax+ay+bx$
• немає констант, окрім : знову ж таки, у повністю розширеній кількості продуктів, наприклад, не( a + 1 ) + ( b + 1 ) ≡ a + b + $1$$(a+1)+(b+1) \equiv a+b+2$

$Q.$ Чи існує ефективний алгоритм для визначення того, чи є два вирази еквівалентними?

Для ілюстрації, ось неефективний алгоритм грубої сили з експоненціальним часом:

повністю розширити обидва вирази до суми продуктів , що легко перевірити на еквівалентність (просто ігноруйте порядок, оскільки комутація / асоційований може змінити порядок).

наприклад
a ( x + y ) + b ( x + y ) → a x + a y + b x + b $(a+b)(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$
$a(x+y)+b(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$

Це здається загальновідомою проблемою - навіть старшокласників навчають ручним способам її вирішення. Це також вирішується автоматизованими доказчиками теореми / шашками, але вони зосереджені на більш досконалих аспектах.

Ось робочий онлайн-автоматизований доказ про теорему: http://tryacl2.org/ , який показує еквівалентність шляхом знаходження послідовності маршрутів сполучення / об'єднання / розподілу тощо:

$xy+x+y=x+y(x+1)$ ?
(thm (= (+ (* x y) x y) (+ x (* y (+ x 1))) ))--- 188 сходинок

$y+x(y+1)=x+y(x+1)$ ?
(thm (= (+ y (* x (+ y 1))) (+ x (* y (+ x 1))) ))--- 325 кроків

Це моє перше питання тут, тому, будь ласка, повідомте мене, чи я обрав неправильне місце, неправильні теги, неправильний спосіб опису / запитання тощо. Дякую!
Примітка: це питання було переписано у відповідь на коментарі
Дякую всім респондентам! Я багато чого навчився.

Ваша проблема зводиться до нульового тестування багатоваріантних многочленів, для яких існують ефективні рандомізовані алгоритми.

Ваші вирази - це багатовимірні многочлени. Мабуть, ваші вирази побудовані за такими правилами: (а) якщо - змінна, то x - вираз; (b) якщо c - константа, то c - вираз; (c) якщо e 1 , e 2 - вирази, то e 1 + e 2 і e 1 e 2 - вирази. Якщо це дійсно те, що ви задумали, кожен вираз є багатовимірним многочленом над змінними.$x$$x$$c$$c$$e_1,e_2$$e_1+e_2$$e_1e_2$

Тепер ви хочете знати, чи є два вирази рівнозначними. Це означає тестування того, чи є два багатофакторні многочлени еквівалентними: задані і p 2 ( x 1 , ... , x n ) , ви хочете знати, чи ці два поліноми рівнозначні. Ви можете перевірити це, віднімаючи їх і перевіряючи, чи результат однаковий нуль: визначте$p_1(x_1,\dots,x_n)$$p_2(x_1,\dots,x_n)$

Тепер еквівалентні тоді і тільки тоді, коли q - нульовий многочлен.$p_1,p_2$$q$

Тестування того, чи однаково дорівнює нулю, є проблемою нульового тестування для багатофакторних многочленів. Для цього існують ефективні алгоритми. Наприклад, одним із прикладних алгоритмів є оцінка q ( x 1 , … , x n ) за багатьма випадковими значеннями x 1 , … , x n . Якщо ви знайдете значення x 1 , … , x n таке, що q ( x 1 , … , x n ) , то ви знаєте, що $q$$q(x_1,\dots,x_n)$$x_1,\dots,x_n$$x_1,\dots,x_n$$q(x_1,\dots,x_n)$$q$не ідентично дорівнює нулю, тобто не є еквівалентом. Якщо після багатьох випробувань всі вони дорівнюють нулю, то можна зробити висновок, що q однаково нульовий (якщо q не однаково нульовий, ймовірність того, що всі ці випробування дають нуль, можуть бути експоненціально низькими). Кількість ітерацій, які потрібно зробити, пов'язана зі ступенем q ; Детальну інформацію див. у літературі щодо тестування поліноміальної ідентичності.$p_1,p_2$$q$$q$$q$

Наприклад, див. Https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz%E2%80%93Zippel_lemma та http://rjlipton.wordpress.com/2009/11/30/the-curious-history-of-the- schwartz-zippel-lema /

Ці алгоритми застосовуються, якщо ви працюєте над обмеженим полем. Ви не стан , яке поле / кільце ви працюєте, і ви лікуєте ці вирази як формальні вирази чи (наприклад, поліноми як абстрактні об'єкти) або як функції від . Якщо ви працюєте над обмеженим полем, наведені вище методи застосовуються негайно.$\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$

Якщо ви розглядаєте вирази як формальні об'єкти, то ваші вирази еквівалентні багатоваріантним многочленам з цілими коефіцієнтами. Ви можете перевірити еквівалентність цих вибираючи великий випадковий простий і тестування еквівалентності по модулю р , тобто в поле Z / г Z . Повторіть це многочлена багато разів, з різними випадковими значеннями r , і ви повинні отримати ефективний рандомізований алгоритм для перевірки еквівалентності цих формальних виразів.$r$$r$$\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$$r$

Для того, щоб стежити на один потужності , один-Коефіцієнт і один-постійних обмежень в питанні:

Вони визначають підмножину проблеми тестування поліноміальної ідентичності. Зрозуміло, що їх можна вирішити технікою, яка вирішує загальну проблему. Питання полягає в тому, чи утворюють вони підмножину, яку легше вирішити.

$(a+b)^n$$(a+b)(a+b) = aa+ab+ab+bb = aa+2ab+bb$$(aa+2ab+bb)(a+b) = aaa+2aab+abb + aab+2abb+bbb = aaa+3aab+3abb+bbb$ and again terms are combined, making a smaller simpler problem. This combining of terms is a form of dynamic programming.

That is, the possibility of combining terms, creating a non-one coefficient, makes the problem easier not harder.

(Although there is more work in calculation in multiplying non-one coefficients)

non-one constants are included in the above argument by considering constants as variables with zero exponent.

one-power I don't think this makes any difference. Although non-one exponents can be created in more than one way (e.g. $a^4=a^2a^2=a^1a^3$), and this can lead to overlap and combination (as in the Binomial Theorm/Pascal's triangle above), actual combination is only possible if non-one coefficients are allowed.

The above is not a formal or rigorous argument. It rests on an assumption about what makes the problem difficult. But it does seem to me that combining terms only makes for an easier problem - so preventing this by the one coefficient constraint is not going to make the subset easier.