Який найефективніший алгоритм та структура даних для підтримки інформації про з'єднані компоненти на динамічному графіку?

Скажімо, у мене є непрямий обмежений графік, і мені потрібно мати можливість ефективно виконувати такі запити:

• $IsConnected(N_1, N_2)$ - повертає $T$якщо є шлях між і , інакше$N_1$$N_2$$F$
• $ConnectedNodes(N)$ - повертає набір вузлів, до яких можна дістатися з$N$

Це легко зробити за допомогою попереднього обчислення підключених компонентів графіка. Обидва запити можуть запускатися в час.$O(1)$

Якщо мені також потрібно мати змогу додавати краї довільно - - я можу зберігати компоненти в структурі даних, що перебувають у розрізненні . Щоразу, коли додається край, якщо він з'єднує два вузли в різних компонентах, я б об'єднав ці компоненти. Це додає витрати на а на і (що також може бути ).$AddEdge(N_1, N_2)$$O(1)$$AddEdge$$O(InverseAckermann(|Nodes|))$$IsConnected$$ConnectedNodes$$O(1)$

Якщо мені також потрібно мати змогу видалити краї довільно, яка найкраща структура даних для вирішення цієї ситуації? Це один відомий? Підводячи підсумок, він повинен ефективно підтримувати такі операції:

• $IsConnected(N_1, N_2)$ - повертає , якщо існує шлях між і , в іншому випадку .$T$$N_1$$N_2$$F$
• $ConnectedNodes(N)$ - повертає набір вузлів , які доступні з .$N$
• $AddEdge(N_1, N_2)$ - додає край між двома вузлами. Зауважте, що , або обидва, можливо, раніше не існували.$N_1$$N_2$
• $RemoveEdge(N_1, N_2)$ - видаляє наявний край між двома вузлами.

(Мене це цікавить з точки зору розвитку ігор - ця проблема, здається, виникає в досить багатьох ситуаціях. Можливо, гравець може побудувати лінії електропередач, і ми повинні знати, чи підключений генератор до будівлі. Можливо, гравець може заблокувати і розблокуємо двері, і нам потрібно знати, чи може ворог дістатись до гравця. Але це дуже загальна проблема, тому я це сформулював як такий)

Ця проблема відома як динамічна взаємозв'язок, і вона є активною сферою досліджень у теоретичному співтоваристві з інформатики. Однак деякі важливі проблеми все ще відкриті.

Щоб зрозуміти термінологію, ви вимагаєте повністю динамічного підключення, оскільки ви хочете додати та видалити краї. Є результат Холма, де Ліхтенберга і Торупа (J.ACM 2001), який досягає$O(\log^2 n)$ час оновлення та $O(\log n / \log\log n)$час запиту. З мого розуміння, це здається реалізованим. Простіше кажучи, структура даних підтримує ієрархію діючих дерев - і динамічне з'єднання в деревах простіше покрити. Я можу порекомендувати замітки Еріка Д. Демена для гарного пояснення, дивіться тут відео. Примітка Еріка також містить вказівки на інші відповідні результати. Як зауваження: всі ці результати є теоретичними результатами.

Ці структури даних можуть не надавати запити ConnectedNodes як такі, але це легко досягти. Просто підтримуйте в якості додаткової структури даних графік (скажімо, як подвійний список ребер) і виконайте пошук по глибині перших, щоб отримати вузли, до яких можна дістатися з певного вузла.