NFA з експоненціальною кількістю станів при детемінізації

10

Як я можу побудувати приклад DFA, який має станів, де еквівалентний NFA має станів. Очевидно, що набір DFA повинен містити всі підмножини набору NFA, але я не знаю, як почати. Будь-які пропозиції поставити мене на правильний шлях? $2^n$ $n$

automata finite-automata

— саадтааме
джерело

Це питання дещо незрозуміле. Загалом, існує нескінченна кількість еквівалентних DFA для будь-якої звичайної мови та нескінченно багато еквівалентних NFA для будь-якої заданої звичайної мови. Якщо ви хочете мінімальних DFA з станами, це не завжди навіть можливо, оскільки різні NFA можуть розпізнавати одну і ту ж мову і мати різні кількості станів, але відповідають одній мінімальній DFA. Якщо, крім того, ви хочете розглянути лише "мінімальні" NFA, це стане дещо цікавішим ...

2^{n}

$2^n$

— Patrick87

2

Патріку, я вважаю, що ОП означає приклад, коли мінімальний коефіцієнт DFA є експоненціально більшим, ніж мінімальний NFA.

— Yuval Filmus

@ Patrick87 Я не шукаю алгоритм. Все, що я хочу, - це приклад пари машин: DFA з станами та NFA з станами, які приймають ту саму мову.

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— saadtaame

@saadtaame: Це тривіально: візьміть будь-який DFA та додайте достатньо станів, щоб досягти . Цікавим прикладом є ті, де мінімальний еквівалент DFA має стільки станів.

2^{n}

$2^n$

— Рафаель

1

Зауважте, що стаття у Вікіпедії про мінімізацію DFA посилається на придатні приклади (хоча ви повинні з'ясувати маленький NFA самостійно).

— Рафаель

18

Стандартний приклад - мова усіх слів над алфавітом розміром який не містить усіх різних літер. Існує NFA, що приймає з станами (або станів, якщо ви дозволяєте декілька стартових станів): спочатку відгадайте, що буква яка відсутня, потім перейдіть (з -move) у стан, що приймає, з самосмиками для всіх , крім букв . $L$ $A$ $n$ $L$ $n+1$ $n$ $a$ $\epsilon$ $A$

Будь-який DFA для вимагає щонайменше станів. Це можна побачити, використовуючи теорему Міхілла-Нерода. Нехай це два різних підмножини слів і які містять усі та лише літери у відповідно. Не втрачаючи загальності, припустимо, що , і нехай . Тоді , а . $L$ $2^n$ $S_1,S_2$ $A$ $w(S_1),w(S_2)$ $S_1,S_2$ $a \in S_1 \setminus S_2$ $w = w(A-a)$ $w(S_1)w \notin L$ $w(S_2)w \in L$

— Юваль Фільм
джерело

10

це вправа у книзі "Кінцеві автомати" університету Марка В. Лоусона Еріот-Ватт, Едінбург, стор. 68:

Нехай . Покажіть, що мову можна розпізнати за допомогою недетермінованого автомата з станами. Покажіть, що будь-який детермінований автомат, який розпізнає цю мову, повинен мати принаймні станів. Цей приклад показує, що експоненціальне збільшення кількості станів при переході від недетермінованого автомата до відповідного визначального автомата іноді неминуче. $n \geq 1$ $(0+1)^\ast 1(0+1)^{n−1}$ $n+1$ $2^n$

— М. К. Дадетані
джерело

10

Я буду здогадуватися, що ви маєте на увазі, що оптимальна DFA має станів. Можливо, це не дає вам станів, але це . $2^n$ $2^n$ $\Omega(2^n)$

З "Складності спілкування" Кушилевіца та Нісана в навчанні 12.6:

"Для деякого постійного [невід'ємного цілого] розглянемо (кінцеву) мову ." $c$ $L_c = \{ww\mid w \in \{0,1\}^c\}$

і книга продовжує просити вас довести, що ви можете знайти ко-NFA, що розпізнає який використовує стани а також, що ви не можете зробити краще, ніж для DFA. $L_c$ $O(c)$ $\Omega(2^c)$

— Тимофій Сонце
джерело

Крім того, доказ другої частини "вимагає" складності спілкування, тому це може не відповідати вашим цілям.

— Тимофій Нд

Дякую за відповідь! Що ви маєте на увазі під спів-NFA?

— saadtaame

В основному, перемикайте "прийняття" на "відхилення" у визначенні NFA. Тобто, якщо жоден із можливих шляхів не призводить до стану відхилення, ви приймаєте, інакше ви відхиляєте.

— Тимофій Нд

Насправді нижня межа випливає досить легко з Міхіл-Нерода. (Насправді, ви можете отримати щось на зразок .) Але мій co-NFA використовує стан .

2^{c}

$2^c$

(c + 1) 2^{c}

$(c+1)2^c$

Θ (c^{2})

$\Theta(c^2)$

— Yuval Filmus

Кінцеві мови дещо нудні в цьому плані. Дивіться також тут .

— Рафаель

9

Це пізня відповідь, але, очевидно, ніхто не дав оптимального рішення. Візьміть , et , з Цей NFA на двобуквенний алфавіт має станів, лише одне початкове і одне кінцеве стани, а його еквівалентний мінімальний DFA має станів. $A = \{a, b\}$ $Q_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}$ ${\cal A}_n = (Q_n, A, E_n, \{0\}, \{0\})$

E_{n} = {(i, a, i + 1) ∣ 0 ⩽ i ⩽ n - 1} \cup {(n - 1, a, 0)} \cup {(i, b, i) ∣ 1 ⩽ i \leq n - 1} \cup {(i, b, 0) ∣ 1 ⩽ i ⩽ n - 1}}

$E_n = \{(i, a, i+1) \mid 0 \leqslant i \leqslant n-1\} \cup \{(n-1, a, 0)\} \cup \{(i, b, i) \mid 1 \leqslant i \leq n-1\} \cup \{(i, b, 0) \mid 1 \leqslant i \leqslant n-1\}\}$

n

$n$

2^{n}

$2^n$

— Ж.-Є. Шпилька
джерело

3

Дуже розумний! Мова, прийнята цим автоматом, є , де складається з усіх слів, що містять букву не більше разів.

(a^{n} + a W_{n - 1} b)^{*}

$(a^n + aW_{n-1}b)^*$

W_{n - 1}

$W_{n-1}$

a

$a$

n - 1

$n-1$

— Юваль Фільм

2

@ yuval-filmus Цей приклад не мій. Я хотів дати довідку, але наразі не пам'ятаю, де це бачив.

— Ж.-Є.