Скільки файлів cookie у вікні cookie? - Черепичні зірки

З настанням сезону свят я вирішив зробити кілька зірок кориці . Це було весело (а результат смачний), але мій внутрішній ботанік здригнувся, коли я поклав у коробку перший лоток із зірками, і вони не помістилися б в один шар:

Майже! Чи є спосіб, який вони могли б відповідати? Наскільки добре ми можемо плитки зірок у будь-якому випадку? Враховуючи, що це звичайні шестикутні зірки, ми, безумовно, могли б використовувати відомі шестигранні накладки як наближення, як-от так:

^{Зіпсований той, що знаходиться вгорі праворуч, озвучується.}

Але це оптимально? Між порадами є багато місця.

З цього приводу обмежимось прямокутними коробками та шестикутними регулярними зірками, тобто є тридцять градусів (або ) між кожними наконечниками та сусідніми куточками. Для зірок характерні внутрішній радіусriі зовнішній радіусro:$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ джерело ]}

Зауважимо, що у нас є шестикутники для $r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

$r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

Яка оптимальна плитка для зірок, як описано вище? Якщо немає найкращої статичної плитки, чи існує алгоритм, щоб ефективно знайти хороший?

Дозвольте мені частково відповісти на ваше запитання для випадку гексаграми.

Можна зробити наступну плитку

$\hskip1.2in$

Цим ви охопите 12/14 = 6/7 площини (порахуйте трикутники в пунктирному чотирикутнику).

Це оптимально? Я би так вважав. Хоча я не даю доказів, я надам деякі аргументи. Можна запитати, наскільки добре ми можемо заповнити простір (трикутник) між точковими шипами. У вищевказану плитку заповнюємо половину її. Чи можемо ми зробити краще?

$\hskip20mm$

Сюжет цієї функції виглядає так і показує, що наша інтуїція була правильною.

$\hskip30mm$

наступне не пропонується як остаточне або специфічне / вищий напад на цю, можливо, несподівано складну проблему, але як додаткові наукові / теоретичні ракурси / загальні дослідження, що не охоплені дотепер.

1 - ^й цією загальна площа відома / класифікована як «бен упаковка» і це 2d випадок. Є кілька відомих доказів з математики, які пов'язані, наприклад, 3d випадок розслідування Keplers щодо пакування сфери, яка була відкритою проблемою протягом століть і "нещодавно" вирішена комп’ютерним доказом Хейлсом. приклад 2d випадку, який щодня використовується в промисловості, - це оптимізація макетів чіпів. Очевидно, це відрізняється від проблеми, але може вказувати на певну складність цих типів проблем. наприклад, не здається, що існує жодна теорія, яка вимагає / вказує на те, що випадок 2d був би простішим, ніж 3d-випадок. також зауважимо, що проста прямокутна межа не обов'язково допомагає спростити рішення, окрім скажімо, полігональної межі.

можливе аналітичне рішення, якби в постановці задачі було задано якесь базове визначення / схему "регулярної плитки", наприклад, розміщення в сітці тощо.

умови проблеми (можливо, контрінтуїтивно), схоже, не призводять до аналітичного оптимального рішення. це може дивувати деякі, але дуже схожі проблеми облицювання площини, як відомо, не можна визначити (це був знаменитий результат років тому і є багато посилань і навіть поточних досліджень). Ключова різниця між вирішуваними (розв’язуваними / аналітичними) та невирішеними проблемами полягає в тому, чи є плитка "регулярною". вищезазначена проблема стосується "регулярних зірок", але не стосується "регулярних плиток". інша відповідна відповідь передбачає певну регулярну плитку чи порядок, але зауважте, що навіть визначення "регулярної плитки" може бути дуже складним формально / математично.

Такі проблеми, як правило, цілком піддаються генетичним алгоритмам . такий алгоритм може знайти «дуже хороші» упаковки, які навряд чи вдасться значно покращити, і, можливо, деякі межі можна встановити на їхню оптимальність за допомогою дуже геніальних методів (тобто вони повинні бути в межах невеликого відсотка помилок від оптимального), але не можуть довести жодного є оптимальними.

Ось кілька знайдених посилань, які, як правило, безпосередньо застосовуються:

• Приклад використання генетичних алгоритмів. Про генетичні алгоритми пакування багатокутників / Якобс

• Алгоритми задач геометричного упаковки та масштабування Дисертація / Майкл Форман 1992, 92р, сек 3.6 Намальовування зіркоподібних x-монотонних об'єктів p30

• АЛГОРИТМ УПАКУВАННЯ ГЕОМЕТРИКИ ДЛЯ АРБІТРАРНИХ ШАПІВ / АРФАТ ПАША 2003 Дипломна робота 87р.

• це питання обміну ставками також близько. упаковка довільних багатокутників у межах довільної межі . це для довільних меж

Хоча ця конкретна проблема, ймовірно, ще не вивчена, Ласло Феєс Тот задав такі питання і їх називають проблемами з упаковкою. Я настійно рекомендую третій розділ книги Паха-Агарваля .