Чи існують програми, які ніколи не зупиняються і не мають доказів без припинення?

Як чорні діри в інформатиці. Ми можемо лише знати, що вони існують, але коли ми маємо одну з них, ми ніколи не дізнаємось, що це одна з них.

halting-problem correctness-proof

— Отакар Молнар Лопес
джерело

Вирішити задачу зупинки є принаймні настільки ж важко, як і доведення теорем (з урахуванням теореми ви можете просто написати програму типу , програма припиняється, якщо і лише якщо теорема є правдивою). Якщо таких програм не було, це означало б, що ви можете довести всі теореми, що, як відомо, помилкові.

T

$T$ if T is true then halt else loop forever

— Бакуріу

@Bakuriu: Як би ти писав if T is true?

— ruakh

@ruakh: Традиційний методFor each string S in the (countable) universe of possible strings: If S is a syntactically valid proof of T, halt.

— Quuxplusone

@Quuxplusone: Ну, так, але це, схоже, не вписується в конструкцію Бакуріу. . .

— ruakh

Це цікаво, але поза моїми знаннями. Чи можете ви детальніше розібратися?

— Еворлор

Відповіді:

Дійсно є такі програми. Щоб довести це, припустимо протилежне, що для кожної машини, яка не зупиняється, існує доказ, що вона не зупиняється.

Ці докази є рядками кінцевої довжини, тому ми можемо перерахувати всі докази довжини менше для деяких цілих . $s$ $s$

Потім ми можемо використовувати це для вирішення проблеми зупинки наступним чином: Враховуючи машину Тюрінга та вхід , ми використовуємо такий алгоритм: $M$ $x$

s := 0
while (True)
    test if machine M halts on input x in s steps
    look at all proofs of length s and see if they prove M doesn't halt on input x
    set s := s + 1

Якщо зупиняється на вході , то він зупиняється на деякій кінцевій кількості кроків , тому наш алгоритм припиняється. $M$ $x$ $s$

Якщо не зупиняється на вході , то, за нашим припущенням, існує деяка довжина доказу де є доказ того, що не зупиняється. Тож у цьому випадку наш алгоритм завжди припиняється. $M$ $x$ $s$ $M$

Таким чином, у нас є алгоритм, який вирішує проблему зупинки, яка завжди припиняється. Але ми знаємо, що це не може існувати, тому наше припущення про те, що завжди є доказ неприпинення, повинно бути помилковим.

— дміти
джерело

Я думаю, що з цього випливає і слабша форма теореми про незавершеність Годеля. В основному, існують речі, які є правдивими, але їх неможливо довести. Це один з моїх нових улюблених експериментів з думками.

— Джейк

Як ви вважаєте, спроба довести P = NP або намагатися знайти непарне ідеальне число може бути однією з цих програм?

— Otakar Molnár López

Це не зовсім має сенс, оскільки програми, що не припиняються, не є доказами, і не є їхніми цифрами, але ідея, на яку ви потрапляєте, була висунута. Деякі кажуть, що PvsNP є недоказувальним

— Джейк

@Jake Я вважаю, що частина мотивації машин Тьюрінга була більш чітким вираженням ідеї теореми Годеля.

— cpast

Для дещо конкретнішого прикладу припустимо, що теорія, яку ми використовуємо для наших доказів, має такі (цілком розумні, ІМО) особливості:

Це послідовно ; тобто це не може довести протиріччя.
Його набір аксіом рекурсивно перелічується.
Її докази можна записати у вигляді кінцевих шнурів.
Питання про те, чи кодує дана рядок добре сформований і правильний доказ, алгоритмічно вирішується за обмежений час.
Досить виразно визнати доказ другої теореми про незавершеність Геделя , яка говорить про те, що вона не може довести власну послідовність.

З урахуванням цих припущень наступна програма ніколи не зупиниться, але не може бути доведена (в рамках теорії, яку ми використовуємо), щоб вона не припинялася:

let k := 0;
repeat:
    let k := k + 1;
    let s := binary expansion of k, excluding leading 1 bit;
while s does not encode a proof of a contradiction;
halt.

Ключовою деталлю є перше вище припущення, а саме те, що теорія, яку ми використовуємо для наших доказів, є узгодженою. Очевидно, нам потрібно припустити це, щоб наші докази чогось варті, але друга теорема про незавершеність Геделя говорить, що для будь-якої досить виразної та ефективно аксіоматизованої теорії ми насправді цього не можемо довести (крім, можливо, в якійсь іншій теорії, чию послідовність ми тоді потрібно припустити і т. д. тощо).

— Ільмарі Каронен
джерело