Якими будуть наслідки конструктивного доказу ?

Я розумію проблему на високому рівні і розумію, що якби це було абсолютно «доведено», що це правда із запропонованим рішенням, це відкрило б двері для вирішення численних проблем у царині інформатики.$P=NP$

Моє запитання: якщо хтось опублікує незаперечний, конструктивний доказ , то які саме негайні наслідки ми б побачили від такого відкриття? $P=NP$

Я не прошу впевнених поглядів на те, як виглядатиме світ через 5-10 років. Натомість я розумію, що це така принципово нерозв'язна проблема, що вона може кардинально змінити спосіб обчислення ... багато речей (так, саме тут виявляється моє незнання ...), що ми сьогодні не можемо легко обчислити. .

Який майже ближній ефект матиме ретельний, точний та конструктивний доказ на практичний світ?$P=NP$

Люди дали хороші відповіді, припускаючи, що з деякою дійсно великою постійною. Я буду грати в оптиміста і припускати, що ми знайдемо доказ зі значущою малою константою. Можливо, це не вірогідно, але я спробую дати деяке розуміння того, що б це сталося, якби ми могли ефективно вирішити всі проблеми .P = N P N $P=NP$$P=NP$$NP$

• Компілятори: Деякі комп'ютерні програми стануть трохи швидшими, оскільки компілятори використовують забарвлення графіків для розподілу реєстру. Ми могли б точно виділити для великої кількості реєстрів. Існуючі компілятори, що використовують наближене рішення (наприклад, хордальні графіки), отримають кращий вихід, а ті, хто використовує точне рішення, стануть швидшими.

• Розташування закладу: Підприємства зможуть знайти оптимальне місце для розміщення фабрик та поставок для відправки до їхніх магазинів, коли, можливо, є тисячі магазинів та фабрик. Ймовірно, це не буде величезним покращенням у порівнянні з сучасними наближеннями, але зменшить витрати.

• Купівля авіаквитків: авіаквитки - дивні, оскільки вони не дотримуються рівності трикутників. Іноді дешевше літати з A -> B -> C, ніж безпосередньо з A -> C, що не виникає при моделюванні відстаней. Було б легко створити веб-сайт, який знайде абсолютну найдешевшу послідовність польотів, які відвідують деяку кількість міст і починаються та закінчуються у вашому рідному місті.

• Конструкція схеми: електричні схеми на мікросхемі - це в основному булеві формули. Такі речі, як мінімізація, можна було б ефективно обчислити, тому наше обладнання було б трохи ефективнішим.

• Графік роботи: скажеться, що ваша школа одночасно склала два ваші іспити? Якщо ваша школа може або кількість часових інтервалів їм потрібна, щоб жоден учень не конфліктував, або дав кількість часових інтервалів, мінімізуйте кількість конфліктів.$P=NP$

Це лише вибірка практичних застосувань, яку ми побачимо, якщо незавершеність не була бар'єром. Я впевнений, що я пропустив багато, але якби дана конструкція мала хорошу константу, наслідки були б далекосяжними.$NP$

Ми не обов'язково побачимо будь-які ефекти. Припустимо, що хтось знайде алгоритм, який вирішує 3SAT на змінних у основних операціях. Ви не зможете запустити цей алгоритм в будь-якому випадку, оскільки це займає занадто багато часу. Або припустимо, що вона знаходить алгоритм, що працює в основних операціях. Ми зможемо використовувати його лише в екземплярах 3SAT на одній змінній, оскільки для більшості змінних це забирає занадто багато часу.2 100 n n $n$$2^{100} n$$n^{100}$

З іншого боку, припустимо, що P NP, і що навіть більш сильна експоненціальна часова гіпотеза має місце. Тоді загалом 3SAT має бути непридатним. І все-таки рішення SAT, як видається, справляються з певними проблемами.$\neq$

Що тут відбувається? З питанням P проти NP існує кілька проблем:

1. Це стосується лише найгіршого випадку.
2. Це лише асимптотика.
3. Всі поліноміальні межі часу однакові.

Ці проблеми ставлять під сумнів її актуальність для реального світу. Тепер може статися, що якийсь дійсно швидкий алгоритм знайдеться для 3SAT, настільки швидкий, що навіть симетричне шифрування стане зламним. Але я вважаю це вкрай малоймовірним. З іншого боку, цілком послідовно, щоб P відрізнявся від NP, в той час як факторинг практичний; це порушило б певні схеми шифрування відкритого ключа. Це ймовірна ситуація, яка матиме наслідки, але вона не пов'язана з питанням P проти NP.

Питання P проти NP може бути природним з математичної точки зору, але його практична актуальність є сумнівною, на мій погляд. З іншого боку, дослідження цього питання може мати чи не мати практичних наслідків; не керується цим аспектом.

Дуже приємно читати тут [1], де Імпальяццо розглядає п'ять можливих "світів", де взаємозв'язки між класами складності різні. Наприклад, у світі під назвою Algorithmica (див. Розділ 2.1) ми маємо, що (або якийсь інший "моральний еквівалент" має місце, наприклад, ).N P ⊆ B P $\sf P = NP$$\sf NP \subseteq BPP$

В Algorithmica практично будь-яка проблема оптимізації була б тривіальною. Мови програмування можуть бути мовами, де один вид має властивості, які бажаний результат має мати відносно вхідних даних, замість того, щоб визначати, як слід проводити обчислення. Комп'ютери також могли знайти докази для будь-якої теореми в часі приблизно за довжиною доказу. (Цей погляд, звичайно, дуже оптимістичний і залежить від ефективного алгоритму для деяких неповних проблем).$\sf NP$

[1] Рассел Імпальяццо. Особистий погляд на складність середнього випадку. Конференція про складність, 1995.

Навіть без P = NP сьогоднішні комп’ютери неймовірно потужні.

• 12873891274647018937561708356916501047777612653914909670721635802187 можна враховувати один комп'ютер менше ніж за секунду.
• Для більш складних завдань, таких як синтезування електричного макета чіпа з опису його функцій вищого рівня або виправлення фотомасок для компенсації артефактів з виробничого процесу, кластери багатьох сотень комп'ютерів працюють цілий день, щоб увімкнути неможливе.
• Сьогоднішні комп’ютери здатні довести математичні теореми, жодна людина не змогла довести, як, наприклад, алгебри Робіна булеві, або що певна константа, яку можна вважати необмеженою ( Ердсова проблема розбіжності ), перевищує 2.
• Програми аналізу статичного вихідного коду здатні виявити вразливості, як помилка Heartbleed .
• Автоматизовані засоби міркування, такі як prover9 або теорема-E , здатні довести більшість загальних алгебраїчних характеристик зворотних напівгруп та сильно регулярних кілець без явної допомоги.

Редагувати 22 січня 2018 року Я тепер дізнався, як я мав би «інтерпретувати» текст, наведений у наведеному нижче прикладі. Я був власною виною, обернений елемент повинен був бути унікальним . Ось мій вхідний файл від 22 грудня 2014 року ( addinvrig.in ), і ось фіксований вхідний файл з сьогоднішнього дня ( addinvrigFixed.in ). Найважливіша лінія полягає в тому, що (x+(-x))+((-y)+y)=((-y)+y)+(x+(-x)).сила самих автоматизованих інструментів міркування все ще захоплює мене, навіть якщо вони не можуть врятувати мене від неправильного тлумачення чужих творів.

Використання автоматизованих засобів міркування для мене дивовижно корисно, коли я стикаюся з цитованими теоремами, де я не знаю, як "інтерпретувати" текст :

У 1974 році Карвеллас [3] вивчав аддитивне зворотне семірування, і він довів наступне:
(Карвеллас (1974), теорема 3 (ii) і теорема 7)) Візьміть будь-яку добавку зворотного семірування (S, +, ·).
(i) Для всіх , і (ii) Якщо для всіх тоді є додатково комутативним.( x ⋅ y ) ′ = x ′ ⋅ y = x ⋅ y ′ x ′ ⋅ y ′ = x ⋅ y a ∈ a S ∩ S a a ∈ $x, y \in S$$(x \cdot y)' = x' \cdot y = x \cdot y'$$x' \cdot y' = x \cdot y$
$a \in aS \cap Sa$$a \in S$$S$

Я адаптував свої вхідні файли prover9 для цієї теореми, і мені було негайно показано зустрічний приклад для зазначеної теореми. Трохи модифікуючи припущення, було випущено багато подібних справжніх теорем, завдяки чому Карвеллас насправді заявив і довів правильну теорему, про яку тут цитували лише неправильно. Гуглінг для посилання на цю теорему виявив лише інший документ, який цитував Карвелласа ще менш точним .

Це неймовірно неповна колекція результатів комп'ютерної допомоги для конкретних проблем, які взагалі є нерозв'язними, якщо P! = NP. Можливо, ця колекція дає зрозуміти хоча б деяким читачам, що всі ми схильні недооцінювати повноваження комп'ютерів у цій галузі. Багато інших відповідей на це питання, начебто, говорять про те, що великих наслідків не було б, якщо комп’ютери покращаться (трохи) краще при вирішенні нерозв'язних проблем. Але комп'ютери краще вирішують нерозв'язні проблеми весь час (адже для цього це витрачається досить багато часу і коштів), і це має дуже реальні наслідки. Якщо P = NP було б доведено, то, можливо, усвідомлення того, що комп'ютери насправді можуть робити (навіть сьогодні), зростало б, і більше людей використовуватимуть комп’ютери, щоб допомогти їм у виконанні таких завдань. (PS: Я переконаний, що P! = NP,

Існує багато думок щодо реальних наслідків P = NP. Як видно з інших хороших відповідей, в основному є 2 школи думки. Одне полягає в тому, що алгоритм P-часу може бути дуже важким або нездійсненним реалізувати через "несподівані аномалії", пов'язані з абстракцією. наприклад:

• програма може бути занадто "великою", щоб насправді кодувати
• може бути дуже велика константа, така що для всіх випадків, що знаходяться в межах "наземних обчислень", вони все ще довго працюють, тобто ефективність не "запускається" за винятком дуже великих випадків. відомо, що деякі алгоритми насправді вписуються в цей випадок, як нещодавно вказував Кнут (питання 15)

Взагалі я шукаю більше уваги на алгоритмах, які швидко працюють щодо проблем, розмір яких, n, можливо. Більшість сьогоднішньої літератури присвячена алгоритмам, які є асимптотично великими, але вони корисні лише тоді, коли n перевищує розміри Всесвіту.

Імпальяццо, як цитує Дж. В іншій відповіді, відоме тематичне дослідження. Однак його нарис тим часом був дещо екстрапольований. Ось чудова нова довідка експерта, яка залучає це питання до свого роду науково-фантастичного сценарію майбутнього, ch2 / p11. підведення підсумків

Золотий квиток: P, NP та пошук неможливого Ланс Фортнов

• "якщо виявиться, що P = NP і у нас є ефективні алгоритми для всіх проблем з NP, світ зміниться способами, які зроблять Інтернет схожим на виноску в історії. Не тільки неможливо було б описати всі ці зміни, а й найбільших наслідків нових технологій було б неможливо передбачити ".

• Алгоритм швидко реалізований на суперкомп'ютері. Boeing негайно підписує контракти, щоб отримати кращий дизайн крила для нового літака, що дозволить йому літати з Лондона до Сіднея нон-стоп.

• Алгоритм пошуку, який використовується для пошуку нового алгоритму, який є ще швидшим, оптимізуючи оригінальне рішення P = NP. Закінчується результатом 42 мільйонів рядків нерозбірливого коду. Викликається "алгоритмом Урбана"

• Алгоритм застосовується для пошуку індивідуальних способів лікування раку / майже вилікуваних препаратів, призначених для окремих людей. виліковує рак, СНІД, діабет, але загальна застуда залишається загадкою

• Алгоритм суперпланового планування дозволяє синоптикам "робити неймовірний прогрес прогнозування погоди, дозволяючи точні прогнози температури, вітру, хмарного покриву та опадів майже на рік достроково. Подібні алгоритми тепер рятують життя, точно прогнозуючи шторми, смерчі, урагани, щоб люди могли підготуйте або евакуюйте за потребою ".

• Високо точне розпізнавання обличчя

• Комп'ютер може реконструювати 3d моделі сцени в режимі реального часу з різних куточків камери

• Комп'ютерні алгоритми керують роботою камери для спортивних змагань (замість контрольованих людиною)

• Автоматизовані коментарі та повтори генеруються алгоритмом, включаючи добре підібрані кути та статистику, та генеруються будь-якою мовою в режимі реального часу

• Фантазійний бейсбол / спорт набувають нового виміру з високоточними моделюваннями

• Смакові рецепти смаку покращуються за алгоритмом

• Алгоритм може бути використаний для того, щоб "дізнаватися практично про все, включаючи те, що робить добре мистецтво, популярну музику та слова, що збуджують душу. Пам'ятайте, що P = NP означає, що те, що ми можемо перевірити, ми зможемо знайти. Отже, як тільки ви будете мати алгоритмічний процес розпізнавання величі, ви можете знову використовувати алгоритм, щоб швидко знайти цю велич ".

• Політик використовує комп’ютерний алгоритм, щоб розпізнавати чудові промови та генерувати той, який відповідає шаблонам. Виступ стає вірусним в Інтернеті.

• Люди генерують цілі твори мистецтва з незавершеного / незавершеного мистецтва, наприклад, симфонії. вони використовують алгоритм для створення нових записів Beatles / Elvis. Нове мистецтво, романи, п’єси та поезії, наприклад, романтична комедія з Хамфрі Богарт / Джулією Робертс.

• Amazon може створити індивідуальний роман для приватних осіб на вимогу. NBC створює телевізійні серіали в реальному часі, створені повністю за допомогою комп'ютера

• Модельована віртуальна реальність у відеоіграх, що дозволяє будь-які дії гравців замість фіксованого набору можливих сюжетних ліній.

• Правоохоронні органи використовують алгоритм як "неймовірний інструмент для розкриття злочинів, який, здається, робить неможливе в розслідуванні підозрюваних". комп'ютерний алгоритм може реконструювати ймовірні грані (для складених ескізів), використовуючи лише ДНК. Поліція співставляє підозрюваного у вбивстві, використовуючи масовий пошук бази даних фотографій водіїв, узгоджених із створеним ескізом (з ДНК).

На жаль, не так багато, що викладене вище Fortnow підтримується фактичною науковою літературою, за винятком, можливо, образної екстраполяції світів Імпальяццо. Для розсічення цього пункту за кроком знадобиться набагато більше, але підводячи підсумок, все це здається цікавим, але фантастичним / бажаним мисленням (а може, це його завуальована точка). Насправді існують наукові принципи, які суперечать багатьом пунктам. І зауважте, Fortnow є любителем спорту, тому розвиває розширену метафору в цій галузі, але чи може це бути більше вказівкою на те, що люди думають у канавках ?

Наприклад, відомо, що "ефект метелика" означає, що точне прогнозування погоди минулого (скажімо,) кількаденного горизонту неможливо через "чутливу залежність від початкових умов" (а пізніше Fortnow зізнався у своєму блозі в неодноразовій критиці саме щодо цього бал). Крім того, існує багато доказів того, що комп'ютери не справляються з високо суб'єктивними завданнями, такими як генерування або виявлення впливового мистецтва (завдання, яке навіть досвідченим людям не вдається досягти послідовно).

Насправді все питання залежить від зустрічної чи помилкової передумови . Зауважимо, що велика більшість опитаних вчених-експертів думають / вірять, незважаючи на відсутність до цих пір незаперечних доказів, P ≠ NP. і цілком природно порівнювати його з іншими відомими законами / обмеженнями / обмеженнями, такими як термодинаміка (наприклад, неможливість вічного руху / вільної енергії ) та статистикою, наприклад, "немає теореми про вільний обід" .

Отже, підсумок полягає в тому, що, можливо, навіть вчені-експерти не можуть точно передбачити результат P = NP. Тож, мабуть, найкраща відповідь наразі - визнати, що люди не мають гарної відповіді на даний момент.

П проти НП, технічно проти морально

Як сказав Юваль, можливо, що P = NP технічно правдивий, але морально помилковий. P = NP морально правдивий (навіть якщо це не обов'язково технічно), якщо є швидкий детермінований алгоритм (скажімо, , а може бути навіть з малими константами, нічого подібного ), який вирішує одну з відомих задач, повних NP, як SAT. IIRC, Рассел Імпальяццацо якось сказав, що він вважатиме проблему P проти NP суттєво врегульованою, якщо хтось показує, що SAT може бути вирішений за .$O(n^2)$$O(n^{\lg^* n})$$2^{65536}+2^{1024}n^{256}$$O(n^{\lg n})$

То що відбувається, якщо P = NP морально правдивий?

Це повертає нас до того, чому NP - це такий цікавий клас проблем. Інтуїція в цілому полягає в тому, що ми часто хочемо знайти об'єкти розумного розміру (формалізовані як поліноміальний розмір), які містять властивість а властивість легко перевірити (формалізована як обчислювана в поліноміальний час). Цей клас проблем охоплює майже всі проблеми, які нас цікавлять. Щоб вийти за рамки, потрібно подумати про взаємодію між гравцями, як ігри. Кількість природних цікавих проблем, яких немає в NP (або PH ), дуже мала в порівнянні з природними цікавими проблемами NP . Якщо P = NP морально$Q$$Q$правда, тоді всі ці проблеми можна вирішити дуже швидко. Просто для прикладу, ви можете дізнатися найкращі ваги для дуже складних моделей машинного навчання. Ви можете порушити протоколи шифрування.

Порівняння з випадком, коли P NP є морально правдивим$\neq$

Під P NP морально вірно, я маю на увазі, що ми не можемо вирішити SAT (або будь-яку іншу відому проблему, повну NP) набагато швидше, ніж грубу силу, тоді ці проблеми не можуть бути вирішені на практиці для загальних вкладень навіть досить невеликого розміру вводу скажімо, 100.$\neq$

Чи P NP є морально правдою означає, що ми не можемо вирішити важкі проблеми на практиці?$\neq$

Навіть якщо NP NP є морально правдивим, все ж можливо, що для деяких із цих проблем нас цікавлять не загальні вкладення та найгірші випадки, а клас / розподіл входів, які можна вирішити ефективно. Наприклад, може бути так, що для вирішення питання SAT у вартій справі потрібен експоненціальний час, але на практиці ми вже можемо вирішувати SAT на багатьох цікавих класах, таких як перевірка програмного забезпечення, перевірка апаратних засобів і т. Д. Набагато швидше.$\neq$

Це подібне до вирішення більш простої задачі, наприклад, TSP не може бути навіть наближений ефективно, якщо P NP морально правдивий, але ми вже можемо наблизити особливий випадок TSP на евклідових графах.$\neq$

Якщо ви знаєте, що хочете вирішити повну NP-проблему не на загальних входах, а на входах із певними властивостями, вам не потрібно дбати про загальну проблему. Вам потрібно лише вирішити більш просту проблему. На жаль, часто не просто визначити, які саме матеріали ви дбаєте на практиці.

Проте евристика може на дивовижно виконувати свою практику, як ми бачимо з програмуванням SAT або Integer або з машинним навчанням. ( Навчання PAC за допомогою дуже простої моделі 3-DNF є незмінним, якщо NP RP , і багато експертів вважають, що RP = P).$\neq$

Який ефект майже негайного впливу на практичний світ має ґрунтовний, точний доказ P = NP, що має рішення?

Можливо, вийде дуже багато чудових речей, але ніхто не піклується.

Проблема полягає в тому, що основа (майже) всього сучасного шифрування базується на припущенні, що P не дорівнює NP. Шифрування, що захищає ваш пароль, коли він проходить через Інтернет та зберігається в базах даних. Шифрування, що захищає дані кредитних карток, коли вони переходять через Інтернет ... Шифрування, що захищає мільярди щоденних фінансових операцій, що пов'язують нашу глобальну економіку з гігантським організмом.

Кращий випадок, P = NP означає, що зупиняється. Люди повертаються до використання готівкових коштів, а банки намагаються записати ці вилучення готівки на якомусь відключеному носії, оскільки операції з центральним офісом вже не заслуговують на довіру. Це триватиме, можливо, кілька місяців, поки краще шифрування не буде впроваджене в усьому світі. Кращий випадок.

Найгірший випадок, якщо P = NP означає, що хтось ламає світ. Валюта будується на концепції довіри. Ви цінуєте долар, тому що ви довіряєте, що ваш сусід дасть вам доларові товари чи послуги за нього. Ви цінуєте свій комп’ютер, говорячи про те, що у вас є 500 доларів у банку, тому що ви можете провести картою та отримати товари та послуги на суму 500 доларів ...

Що робити, якщо ви не могли цього довіритися? Якщо P = NP, хтось може представити себе різними банками, урядом, людьми - і ефективно рандомізувати кількість валюти на кожному рахунку. Видаліть валюту з кожного рахунку. Звичайно, у різних банків є резервні копії для обліку, але як довго було порушено їх шифрування? Які транзакції були добрими, а які були підробленими? Це неможливо знати.

Після того, як ця довіра порушена, настає хаос. Будь-які вигоди від можливості вирішити проблему продавця подорожі (наприклад) ігноруються, коли люди намагаються прогодувати себе.

Реальність, ймовірно, знаходиться десь посередині, але, сподіваємось, це малює достатньо велику картину того, наскільки це важлива проблема.

Відбудеться масове падіння витрат на обладнання, електроенергію та хмарні підходи. Багато речей зараз обчислюється з грубою силою, або наближеннями, які все ще використовують важкі жорстокі форсування. Ми більше не будемо робити всі ці масово паралізовані підрахунки грубої сили.

Це далеко не єдине використання хмарних обчислень, але воно все ще буде помітним фактором у використанні енергії, обробці хмар тощо. Просто економія енергії може бути помітна на нашому вуглецю.

ШІ також стане набагато кращим. Нарешті, у нас може бути комп’ютер, який може бути найкращим гравцем GO, і ваш графічний калькулятор обіграє вас у шахах.

Я б не сподівався на революцію. Ми навчилися жити у світі, де P NP і знаходили обхідні шляхи, де вони були критичними (наприклад, приблизні рішення).$\ne$

І те, що гіпотеза спростовується, не означає, що всі проблеми практичної корисності вирішуватимуться миттєво. По-перше, вони все ще можуть бути складнішими за NP.