Згрупуйте ізоморфізм для графіки ізоморфізму

Читаючи деякі блоги про складність обчислювальної техніки (наприклад, тут ), я засвоїв думку, що вирішити, чи є дві групи ізоморфними, простіше, ніж тестувати два графіки на ізоморфізм. Наприклад, на зазначеній сторінці написано, що графічний ізоморфізм є більш загальною проблемою, ніж груповий ізоморфізм.

Отже, я створюю наступне

З огляду на групу може хтось дати побудову графа полінома розміру втакий, що для груп і$G$$\Gamma(G)$$|G|$

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

Зниження описано в класичному документі Міллера.

Не так швидко. Тут є велика прихованість двозначності:

Як ви вводите свою групу для обчислення?

На відміну від графіків, групи можуть бути введеними засобами, які сильно відрізняються за розміром вводу та складною складністю. Версія, що цитується у Міллера, є однією з найменш природних, і, наприклад, ви не знайдете, що це в комп'ютерній алгебрі, таких як GAP, Magma або Sage. Тож, хоча він має теоретичну передумову, це було б занадто далеко, щоб назвати це врегулюванням проблеми.

1. Генератори та відносини: Груповий ізоморфізм не визначається (графік ізоморфізму визначається).

Якщо історія переможець, то першою згадкою про проблему групового ізоморфізму став Макс Ден у 1905 р. Він припускав, що групи будуть внесені генераторами та відносинами. Адіян і Рабін у 1950-х роках довели, що проблема не вирішена . Така ситуація виникає, навіть якщо група тривіальна. Тож це не лише питання кардинальності. Ключова проблема полягає в тому, що ви можете створити групи де вирішити, чи не буде вирішити проблему переписування, яка є непримітивною рекурсивною. Подібно до проблем із типом зупинки, цього неможливо зробити.$G$$G=1$

Для груп, що вводяться генераторами та відносинами: груповий ізоморфізм важче, ніж графічний ізоморфізм, насправді невирішений.

2. Вхідні дані, що використовуються програмними системами: груповий ізоморфізм перестановок та матричних груп принаймні настільки ж важкий, як графний ізоморфізм (не навпаки).

$p$

Для груп, що вводяться для програмних систем: груповий ізоморфізм принаймні такий же важкий, як графний ізоморфізм.

3. Введення теоретичної складності: Для вхідних даних у чорний ящик не відомо, що груповий ізоморфізм є NP або co-NP (графік ізоморфізму є в обох).

$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$є дійсним гомоморфізмом. Як мінімум, вам, здається, потрібна презентація груп, і це не легко отримати.

Для груп з чорною скринькою: груповий ізоморфізм принаймні такий же важкий, як графний ізоморфізм.

4. Входи таблиці Кейлі

Десь у 1970-х рр. Тарджан, Пультр-Хедерлон, Міллер та інші зауважили, що групи, що вводяться за допомогою всієї таблиці множення, також можуть трактуватися як графіки. Таким чином груповий ізоморфізм зводиться до графіка ізоморфізму в поліноміальний час. Міллер пішов набагато далі, спостерігаючи, що численні комбінаторні структури роблять те саме, наприклад, тройки Штейнера. Він також продемонстрував, що напівгруповий ізоморфізм еквівалентний ізоморфізму графів.

$n^{O(\log n)}$

Для таблиць Кейлі: груповий ізоморфізм зводиться до графіка ізоморфізму.

$n$$O((\log n)^3)$

$n$$O(n^2 \log n)$