Загублений у концерті "односпрямованого"

Ви з другом програли один одного на концерті, і не впевнені, хто з вас попереду. Формально кожен має деяку цілу координату і може йти лише до вищої координати або залишатися на місці.

Якщо припустити, що ви та ваш друг дотримуєтесь точно такого ж алгоритму (і ні, ви можете не сказати "якщо (ім'я ==" R B ") щось робити :)), а початкова відстань між вами двома була (що не вам відомі). $x$

Який алгоритм мінімізує очікувану відстань пішки, поки ви та ваш друг не зустрінетесь?

Ви можете припустити, що і ваш друг, і ви самі рухаєтесь з однаковою постійною швидкістю.

Приклад простого алгоритму - це щось на зразок:

На стадії (починаючи з ): $n$ $0$

Пройдіть $3^n$ кроки праворуч wp $\frac{1}{2}$ або чекайте $3^n$ одиниць часу інакше.

Щоб побачити цей алгоритм, змушує друзів зустрічатися з ймовірністю 1 розглянути, що відбувається на етапі . Навіть якщо один , який був кроком попереду завжди йшов і інший завжди залишався на місці, відстань між ними буде: $(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

Тому при ітерації друг, який вирішив піти, пройде відстань , отже, ймовірність $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ , друг, який позаду, наздожене, і вони зустрінуться. $\frac{1}{4}$

Проста оптимізація (зменшити відстань пішки) була б замість того, щоб ходити кроки, ходити кроками, де задано: $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

Отже, оптимальним для цього алгоритму є $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

На жаль, хоча цей алгоритм гарантує, що друзі зустрінуться з вірогідністю 1, очікувана піша відстань нескінченна, чого б я хотів уникнути, якщо це можливо.

Чи є більш ефективний алгоритм?

algorithms randomized-algorithms

— РБ
джерело

Коли ви говорите "очікувана відстань пішки" - ви маєте на увазі, в гіршому випадку, коли алгоритм є імовірнісним, чи ви також припускаєте деякий розподіл на входах? Також - чи потрібно, щоб ваш алгоритм завжди був правильним, або щоб бути правильним wp 1? (чи менше?) - зауважте, що алгоритм, який ви тут представили, може ніколи не зупинятися (але wp 0)

— Shaull

Це схоже на проблему лінійного пошуку ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem ).

— Yuval Filmus

@Shaull - оскільки обидва друзі дотримуються одного алгоритму, він повинен бути імовірнісним, інакше вони ніколи не зустрінуться. Очікувана тривалість перевищує рандомізацію алгоритму.

— РБ

Чи означає ви, що в алгоритмі ви ходите

одиниці часу вправо з постійною швидкістю

? Перехід

кроків може не говорити 2 ^ n часу.

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 吖奇说 ARCHY SHUō

@ 0a-архів - ми припускаємо, що обидва рухаються з однаковою швидкістю (нехай це буде 1

для цього питання). Ідея алгоритму, яку я дав, полягає в тому, що ви або ходите

кроків, або чекаєте рівноцінного часу, тому кожна ітерація починається одночасно для обох гравців.

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— РБ

На кроці намалюйте випадкове число рівномірно між , та . $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

якщо , ходити , чекати , ходити $q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

якщо , зачекайте , ходіть , почекайте , ходіть , почекайте $q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

якщо , почекайте , ходіть , чекайте $q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

На кожному кроці обидва друзі пройдуть кроки. Якщо , вони не зустрінуться під час цього кроку, проте якщо , вони зустрінуться, якщо і лише якщо вони не накреслять однакове число. Імовірність того, що цього не відбувається тільки на кожному кроці. $k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

Отже, очікувана відстань пішки (обмежена вище):

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

Що є кінцевим і рівним, якщо довіряти моїй математиці серветки, до . $2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

$d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ $d$ є набагато сильнішою властивістю, і я вважаю, що знайти рішення, яке її задовольняє, неможливо.

— Девід Дурлман
джерело