Ефективний алгоритм для обчислення го числа Фібоначчі

11

- го числа Фібоначчі може бути обчислений в лінійний час з використанням наступного повторення: $n$

def fib(n):
    i, j = 1, 1
    for k in {1...n-1}:
        i, j = j, i+j
    return i

- го числа Фібоначчі також може бути обчислена як . Однак це має проблеми з питаннями округлення навіть для порівняно невеликих . Ймовірно, є способи цього, але я б краще цього не робив. $n$ $\left[\varphi^n / \sqrt{5}\right]$ $n$

Чи існує ефективний (логарифмічний у значенні або кращий) алгоритм для обчислення го числа Фібоначчі, який не покладається на арифметику з плаваючою комою? Припустимо, що цілі операції ( , , , ) можна виконувати в постійний час. $n$ $n$ $+$ $-$ $\times$ $/$

algorithms time-complexity recurrence-relation

— аугурар
джерело

5

Як пропозиція, стаття Вікіпедії про числа Фібоначчі має безліч методів.

— Псевдонім

пор. stackoverflow.com/questions/14661633/… та посилання на них та навколо.

— Буде Несс

14

Ви можете використовувати матричне живлення та ідентифікацію У вашій моделі обчислення це алгоритм , якщо ви використовуєте повторне квадратування для здійснення живлення.

{[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]}^{n} = [\begin{matrix} F_{n + 1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n - 1} \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}.$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Юваль Фільм
джерело

1

Це класика.

— dfeuer

8

Ви також можете використовувати цю ідентичність для отримання повторень і .

F_{2 n - 1} = F_{n}^{2} + F_{n - 1}^{2}

$F_{2n-1} = F_n^2 + F_{n-1}^2$

F_{2 n} = F_{n}^{2} + 2 F_{n - 1} F_{n}

$F_{2n} = F_n^2 + 2F_{n-1}F_n$

— аугурар

4

Ви можете прочитати цю математичну статтю: Швидкий алгоритм обчислення великих чисел Фібоначчі (Дайсуке Такахасі): PDF .

Простіше кажучи, я реалізував кілька алгоритмів Фібоначчі в C ++ (без та з GMP) та Python. Повні джерела на Bitbucket. На головній сторінці ви також можете переходити посилання на:

Інтернет-документація C ++ HTML.
Маленький математичний документ: числа Фібоначчі - кілька відношень для реалізації хороших алгоритмів

Найбільш корисні формули:

$F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1} = 2 F_n F_{n - 1} + F^2_n$
$F_{2n + 1} = F^2_{n + 1} + F^2_n$

Будьте уважні до алгоритму. Ви не повинні обчислювати одне і те ж значення кілька разів. Простий рекурсивний алгоритм (в Python):

def fibonacci_pair(n):
    """Return (F_{n-1}, F_n)"""
    if n != 0:
        f_k_1, f_k = fibonacci_pair(n//2)  # F_{k-1},F_k with k = n/2

        return ((f_k**2 + f_k_1**2,
                 ((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2) if n & 1 == 0  # even
                else (((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2,
                      (f_k + f_k_1)**2 + f_k**2))
    else:
        return (1, 0)

Його складність логарифмічна (якщо основні операції знаходяться в постійному часі): . $O(\log n)$

— Олів'є Пірсон
джерело

2

Ласкаво просимо до інформатики . Чи можете ви додати більше інформації у відповідь? На даний момент це не більше ніж два посилання, тому ваша відповідь стане безглуздою, якщо ці посилання вмирають або сервери, на яких вони є, недоступні. Посилання на додаткову інформацію є нормальними, але посилання тут є єдиною інформацією. Крім того, зауважте, що питання точно визначено алгоритмами, а не реалізацією C ++. Реалізація, як правило, затуляє алгоритми, що лежать в основі деталей, орієнтованих на мову.

— Девід Річербі

Девід, перша посилання - це посилання на математичну статтю. Заголовок Швидкий алгоритм [...] відповідає на запитання "Чи є ефективний (логарифмічний у значенні n або краще) алгоритм [...]?" Друга посилання - це посилання на мої різні реалізації, в C ++ та Python, і невеликий математичний документ з кількома формулами.

— Олів'є Пірсон

2

Ні, назва статті, яка містить вашу відповідь, нічого не відповідає. Текст статті, який ваш відповідь не містить майже ніяких, здається , що це , ймовірно , робить відповідь на питання. Але Stack Exchange - це сайт із запитаннями та відповідями, а не фермерська посилання. (І ні, я не пропоную вам скопіювати вставити статтю у свою відповідь. Але потрібна резюме.)

— Девід Річербі,

Якщо ви хочете резюме, напишіть його!

— Олів'є Пірсон

0

Основна теорія та код для обчислення лінійних повторень з постійними коефіцієнтами в доступні на веб-сайті http://www.jjj.de/ . $O(\log_2 n)$

Перевірте безкоштовну книгу « Матеріальні обчислення» та код pari / gp.

— жоро
джерело

5

Краще узагальнити ідеї, а не просто розміщувати посилання.

— аугурар