Чи є чітке визначення поняття "обчислювальне" для моделей обчислень, які не закінчуються?

Це продовження іншого питання тут , і я сподіваюся, що воно не надто філософське. Як зазначав Рафаель у коментарі до мого попереднього запитання, я не дуже розумію поняття "обчислювальний", але згідно з деякими прочитаними статтями, це визначення також не зовсім зрозуміло, якщо мова йде про моделі обчислень, слабкіші за тюрінг машини через кодування вводу та виходу.

Типовим визначенням обчислювальної схеми є наступне:

Визначення 1: Функція називається turing computable iff. Існує машина turing яка обчислює використовуючи відповідне кодування натуральних чисел як рядків.$f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$$M$$f$

Визначення відрізняються тим, що саме є придатним кодуванням , але більшість стосується двійкового кодування , одинарного або десяткового кодування як єдиного фіксованого та відповідного кодування. Можна також показати, що для визначення обчислюваності Тьюрінга потрібна фіксація одного кодування. Але що робить, скажімо, двійкове кодування натуральних чисел особливим, щоб ми могли аксіоматизувати його як єдине придатне кодування? Можливо, тому, що вона відповідає інтуїтивному уявленню про те, що означає обчислюваність випадково .

А що робити, якщо ми подивимось на слабкіші моделі обчислень, ніж машини націлювання? Наприклад, давайте розглянемо набір " " машин з алфавітом який може рухатися лише праворуч, і визначення обчислюваного, яке відповідає встановленню turing обчислюваності:$M_c$$\{0,1\}$

Визначення 2: Функція називається калікою що обчислюється або обчислюється в iff, є яка обчислює використовуючи відповідне кодування натуральних чисел як рядок.$f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$$M_c$$M$$f$

Якщо ми визначимо "відповідну кодування" в якості "двійкового кодування", то функція є НЕ обчислюваних в . Якщо ми аксіоматизована «підходящу кодування» як «одномісний кодування», то є обчислимо в . Це здається незручним, враховуючи той факт, що кожен може за бажанням зафіксувати одне з нескінченно багатьох інтуїтивних кодувань. Повинно бути зрозуміло, чи може обчислювальна модель обчислити чи ні, не посилаючись на якесь конкретне кодування - принаймні, я ніколи не бачив, щоб хтось згадував, яке кодування використовується, коли заявляли, що "петльові програми слабкіші за тирінг машини".$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, n \mapsto n+1$$M_c$$f$ $M_c$$f$

Після цього вступу я можу остаточно сформулювати своє запитання: як би можна було визначити "відповідні кодування" та "обчислюваність" для довільних моделей обчислення, які не збігаються з інтуїтивним поняттям обчислюваності? Чи можливо це в рамках затвердження обчислюваності?

Редагувати: я скоротив вступ, він не додав до питання.

Основний факт, який вам тут не вистачає, - це те, що всі кодування, які ви згадуєте, еквівалентні з точки зору обчислюваності: існує обчислювана функція, яка відображає двійкове кодування числа до його одинарного кодування, або навпаки. Тому для визначення обчислюваності не має значення, яке з цих кодувань ви виберете для чисел. Просто зафіксуйте улюблене кодування.

Обчисленість є сутністю властивості рядкових функцій $f\colon \Sigma^* \to \Sigma^*$. Коли ви визначаєте обчислюваність у будь-якому іншому домені, вам потрібно виправити кодування. На практиці всі "розумні" кодування є рівнозначними в значенні попереднього пункту, тому точне кодування значення не має.

Однак кодування має значення в обмежених моделях обчислення. Для кращого прикладу, припустимо, ви вважаєте, що машини Тьюрінга з обмеженим часом: скажіть, ви хочете, щоб ваша машина вчасно закінчилася$O(n^c)$ для деяких $c$, де $n$- довжина вводу (у вигляді рядка). Ми більше не можемо перемикатися між бінарним кодуванням та одинарним кодуванням, оскільки двійкове кодування набагато компактніше. Коли ми говоримо про багаточленну обчислювану функцію цілих чисел , ми вказуємо, що цілі числа кодуються у двійковій формі . Навіть це дещо довільний вибір, оскільки десяткове кодування призвело б до того ж поняття обчислення поліноміального часу.

Отже, щоб відповісти на ваше запитання - кодування вказано як частина визначення моделі з обмеженням.

Перш за все, ви не можете виправити "відповідне кодування", щоб бути двійковими рядками або будь-яким іншим кодуванням. Це тому, що ви втратите занадто багато моделей обчислень, тому що різні моделі обчислень можуть мати дуже різні моделі введення та виведення. Іншими словами, вони можуть не "говорити" рядків.

Наприклад, терміни нетипового обчислення лямбда - це або змінні, або застосування одного терміна до іншого, або абстракція лямбда-терміна. Введення та вихід - це терміни, довільні рядки. Тим не менш, нетипізоване обчислення лямбда є повним Тюрінгом, оскільки існує "відповідне кодування", яке кодує натуральні числа як лямбда-терміни певної форми, і під цим кодуванням для кожної обчислюваної функції існує лямбда-термін, який обчислює її.

Ви можете формалізувати "відповідне кодування", якщо ви зафіксували машини Тьюрінга як свою опорну модель обчислення, а потім вимагати, щоб кодування та декодування з бінарних рядків і до них виконувались машиною Тьюрінга, яка завжди зупиняється. Наприклад, машина Тьюрінга змогла б перевести натуральне число як двійковий рядок до терміна лямбда, який виражає це число, імітував зменшення обчислення лямбда та переводив результат назад у двійковий рядок.

Для більш простих моделей обчислення я б очікував того ж підходу: взяти довідкову модель обчислень і зафіксувати кодування натуральних чисел, а потім переконатися, що кодування та розшифровка виконуються екземплярами цієї простої моделі. Як ви зазначали, для калікованих машин Тьюрінга використання одинарних і двійкових закодованих чисел не дасть еквівалентної моделі обчислення.