Доведення теореми Карпа-Ліптона

Я намагаюся зрозуміти докази теореми Карпа-Ліптона, про які йдеться у книзі "Комп'ютерна складність: сучасний підхід" (2009).

Зокрема, у цій книзі зазначено:

Теорема Карпа-Ліптона

Якщо NP $\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ , то PH $= \Sigma^p_2$ .

Доведення: За теоремою 5.4, щоб показати PH , достатньо показати, що і, зокрема, достатньо показати, що містить -повну мову SAT. $= \Sigma^p_2$ $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma^p_2$ $\Pi^p_2$ $\Pi_2$

Теорема 5.4 стверджує, що

для кожного , якщо то PH = . Тобто ієрархія руйнується до i-го рівня. $i \geq 1$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p$

Я не розумію, як означає . $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

Як більш загальне питання: чи справедливо це для кожного , тобто означає для всіх ? $i$ $\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $i \geq 1$

complexity-theory complexity-classes

— WardL
джерело

Через деякий час, якщо я правильно пам'ятаю, ми прийшли до невиразним пояснення: «Якщо

, то ми можемо перетворити формулу з кванторами

до одного з кванторами

, який ми можемо використовувати , щоб перетворити формулу з

виду

до одного з форми

Π_{2}^{p} \subseteq Σ_{2}^{p}

$\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$

\forall . . . \exists

$\forall ... \exists$

\exists . . . \forall

$\exists ... \forall$

Σ_{3}^{p}

$\Sigma_3^p$

\exists . . . \forall . . . \exists

$\exists ... \forall ... \exists$

\exists . . . \exists . . . \forall

$\exists... \exists... \forall$ , який поміщає його в

, що руйнує ієрархію. Я не впевнений, що повністю розумію цей аргумент.

Σ_{2}^{p}

$\Sigma_2^p$

— WardL

Ще одна пропозиція / ідея, математичні твердження перемикаються між включенням підмножини та рівністю (визнайте, це звичайно в теорії складності). чи є спосіб дотримуватися / перетворювати / переформулювати в те чи інше? fyi Karp-Lipton thm / wikipedia

— vzn

Нагадаємо, що iff . Припустимо тепер, що , і нехай . Тоді і так за припущенням, маючи на увазі, що . Іншими словами, $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$ $L \in \Pi_i^p$ $\bar{L} \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $L \in \Sigma_i^p$ $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

$L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $i = 3$ $L \in \Sigma_3^p$ $T$

x \in L \Leftrightarrow \exists | y | < | x |^{O (1)} \forall | z | < | x |^{O (1)} \exists | w | < | x |^{O (1)} T (x, y, z, w) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$ Similarly

\bar{L} \in Π_{3}^{p}

$\bar{L} \in \Pi_3^p$ if for some P-time predicate

S

$S$ ,

x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall | y | < | x |^{O (1)} \exists | z | < | x |^{O (1)} \forall | w | < | x |^{O (1)} S (x, y, z, w) .

$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$ However, these two statements are equivalent, as a simple invocation of de Morgan's laws shows, together with the fact that P is closed under complementation (take

S = \neg T

$S = \lnot T$ ).

— Yuval Filmus
джерело