Чи ефективно узагальнений XOR-SAT?

12

Я бачив, як XOR-3-SAT ефективно вирішується (наприклад, див. Розділ "Задовільність XOR" у статті Вікіпедії щодо булевої проблеми задоволеності ).

Мене цікавить основне запитання: чи ефективно вирішується XOR-k-SAT для формул з різною кількістю буквених значень на пункт?

Мені дуже хотілося б знати, чи можемо ми збільшити кількість буквених значень на пункт понад 3, і чи можемо ми мати змішану довжину.

complexity-theory satisfiability

— Метт Грофф
джерело

2

Які дослідження ви провели? Ми очікуємо, що ви докладете серйозних зусиль самостійно, перш ніж запитати, і покажете нам у питанні, які дослідження ви зробили і що ви спробували. У Вікіпедії зазначається, що алгоритм вирішення XOR-3-SAT - це усунення Гаусса. Ви зробили спробу зрозуміти, як це працює, і подивіться, чи стосується він XOR-k-SAT?

— DW

@DW Я визнаю, що я не робив багато досліджень з цього приводу. Я бачив згадку про ліквідацію Гаусса і подумав, що це буде працювати для узагальненого XOR-SAT. Але я думаю, я шукав підтвердження. Сподіваюся, ви пробачите мою лінь. Я спробую зробити більше досліджень у майбутньому, перш ніж ставити подібні запитання.

— Метт Грофф

11

Схоже, стаття у Вікіпедії, з якою ви пов’язані, говорить про те, що XORSAT (а не лише 3-XORSAT) є в P. Метод, за допомогою якого вони вирішують, формула 3-XORSAT у своєму прикладі дуже легко узагальнюється до формул, у яких пункти можуть мати довільно велика кількість змінних і різна кількість змінних.

Ви просто розглядаєте формулу як систему лінійних рівнянь, де у вас є рівняння для кожного пункту та змінна для кожної змінної. Наприклад, формула:

(x_{1} \oplus x_{2} \oplus \neg x_{3} \oplus x_{5}) \land (x_{2} \oplus x_{3})

$(x_1\oplus x_2\oplus\lnot x_3\oplus x_5)\land (x_2\oplus x_3)$

має задовольняюче завдання лише тоді, коли наступна система рівнянь має рішення:

x_{1} + x_{2} + (1 + x_{3}) + x_{5} \equiv 1 \mod 2

$x_1+x_2+(1+x_3)+x_5\equiv 1 \mod 2$

x_{2} + x_{3} \equiv 1 \mod 2

$x_2+x_3\equiv 1 \mod 2$

І ми можемо знайти рішення для лінійних систем рівнянь на кшталт цих у многочленному часі, використовуючи елімінацію Гаусса!

— Ділан Маккей
джерело

6

Так. Це вирішимо шляхом усунення Гаусса. Елімінація Гаусса може вирішити будь-яку систему рівнянь, що є лінійним модулем. XOR діє як модуль додавання 2, тому кожен пункт XOR-SAT діє як модуль лінійного рівняння 2. Отже, усунення Гаусса може вирішити будь-яку формулу XOR-k-SAT або будь-яку формулу XOR-SAT, навіть якщо є різна кількість літералів на одну або змішану довжину пропозицій у поліноміальний час.

— DW
джерело